积分悖论
下载积 分 悖 论 大家知道，导数定义给出了求导数的一个构造性算法，而不定积分的定义却没有这个特点，且初等函数的导数仍是初等函数，不少初等函数的不定积分却不是初等函数，或者说就现有的不定积分定义和积分法则解决不了某些初等函数的不定积分。 但是蒙特卡罗给了我们一个求定积分的“普遍适用法”、“统一法”，它不必依赖积分公式，对任意形式函数的定积分，只要取范围 定积分 都等于概率频率 的极限： 现在已经知道，它对解线性方程组、微分方程已有专门的电子计算机用程序，很快可获解。 这项“统一”法的意义在于概率值表达的数能够与定积分建立直接关系。笔者发现，蒙特卡罗理论的建立与蒲丰求圆周率 直接相关，或者说，蒙特卡罗法所求的数（定积分）与弧度数直接相关，所以它与相对数相关。 既然计算机能够代替人的行动，使随机量（实验次数）趋近绝对无穷大，那么就一定可以通过相对数找到 日日相对无穷大取代绝对无穷大，即找到两种无穷大间的变换，达到依靠仅有的计算关系而不是依靠计算机来实现我们要求的数（积分）。 事实上，这就是存在一个与微分的构造性定义算法相类似的表达积分的定义，任意函数的积分都可以该定义的算法求得，弧度数与绝对数的变换关系就是这种关系： 设一个待求的定积分 为已知函数 因为曲线y上处处的切线与水平轴夹角 的正切值等于导数值 故 （公式） 则 设函数 连续，可导，令 有 另一方面 最后得到 ——(y) 也可写成 (y)式就是原函数的“构造性定义”，通过运算过程可知，它就是“数弧变换”，是一种自然对数。 现在对它求导、校验，观察是否正确。 公式 令 则 因为 得 验证正确。 是任意函数，则y也是任意函数 的原函数。导数 与原函数y的这项关联称为“数学的代数关联”。 ● 这个悖论的根源在于，如果M=1即 得出 的结论 在单位圆中 ， 有 如果 ，则引出 正是曲线的曲率。一般情开 ，因此必有K介入原函数，这里的 应理解为“曲线上任意点对于横轴之偏曲率的倒数”。偏曲率类似偏导数。 则 。 ● 我们注意到 其中 是一阶线性微分方程的基本解。 有可能是更大范围微分方程的解，这里就不单作数学分析了，有待更多智者的介入，笔者能力有限。 ● 以“偏曲率”角度出发，曲率K的相关，使因 ，则必使 ，观察M 要求 ，也即要求 可导。 (y)式的求得表明，积分总是可以是函数G 的代数运算(y)式来代替吗？ ● 此外，若考虑积分常量，可以将此常量看成原函数y的一部分。 ● (y)式的数弧分析 令 因为数 的根源是 视为直角三角形。 被视为弧，因为它等于 。有 出现两积分元素对等，此种状态与本文“三、圆周率 、三角函数与或然率的多途径关联”最后求2x的积分使用方法全同。但此时已经将原函数 与 作为积分要素参加积分里来，又升了格。于是 与 在这里又成为积分对象。若令 则 又是 的导数 。同样有 则 又是 的导数 。故 可见， 、 、 、 都可以是各阶段上的导数，同时也是各阶段上的原函数。导数与原函数只是相对的称谓，它们应当总是“中介状态”的（y可导）。 微积分的统一 事实上，由于积分悖论的存在，它指明，一阶导数都等于1。如下证明： 其中 （一阶无穷小） （仍为一阶无穷小） 则 因为这里 （参看“两个新重要极限”） 于是 任意函数 的导数都等于1。 这是一个相对于原函数存在的一般概念，它的意义为，就原函数与导数的相对性而言，函数y的导数y’可以看成为函数y的“1”，y可以看成为y’的相对无穷大，并且共同存在于自然对数关系中，它的来源过程已经指明。 从代数角度看 即 相当于“y对y取导时，其导数等于1”。 我们知道，对一阶导数积分，结果是一种自然对数： 这是产生“积分悖论”的根源。我们又知道，自然对数就是一种积分 该积分已为世人公认为多种自然现象的模型。对它微分，得 或 积以上三现象之综合： 1.一阶导数等于1，——依赖于自然对数。 2.积分悖论——产生于自然对数。 3.以往的理论经验——自然对数表现为积分，我们得到 式 —— y是x的函数，x是y的自变量，也有 等等 中的两式同时存在，称为导数与原函数的相对性质。使用 式可求原函数，也可求导数： 例1 已知 ，求y。 令 则 其中第三步到第四步使用 ，第四步到第五步仍用了同类公式但不同层次 例2 已知 ，求y。 令 求得 式可以统一为一个式子 即对数求导公式，但这里只是为了求导数。我们的 是双向的，可以用来求原函数。 例3 已知 ，求y。 令 得 例4 已知 ，求y。 令 得 例5 已知 ，求y’。 令 令 令 因 故 式可用来求原函数，也可用来求导函数。实际上， 的存在，就是下式的导数 如果y可导， ，则 写成 更为简便。 大家已经知道，以上积分式正是反映自然界多种现象的函数关系模型，因此 必然与其同价。网友可以自做更多的例题。 摘自《运动论》P325——P337