鲁卡斯数的来历

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鲁卡斯数的来历
鲁卡斯数来自斐波那契数，斐波那契数来自斐波那契提出的小兔繁殖问题。
小兔生小小兔，小小兔又生小小小兔……如此继续生下去。
当条件如是假设：
(1)小兔刚出生，有一个月生长期，一个月后成熟，可以有生殖能力。
(2)一对(公母各一)小兔成熟后，立即孕育了小小兔(无时间间隔)，孕育期也是一个月。即刚出生的一对小兔一个月后成熟，并立即怀孕了小小兔，两个月后生产下一对小小兔。
(3)每次生产都是公母各一，一对兔子。
(4)第一个月初只有刚出生的一对小兔
F1＝1
(5)第二个月初(第一个月末)小兔成熟开始怀孕，但现有的仍是一对原来的小兔
F2＝1
(6)第三个月初(第二个月末)小兔生下一对小小兔，与原来的父母兔总数是(对数)
F3＝1＋1＝2
(7)小兔生下小小兔后，立即又怀孕，所以第四个月初(第三个月末)原来的父母兔再生下第二对小小兔。
与此同时第一对小小兔只是成熟并开始怀孕。现有的兔子总数是(对数)
F4＝2＋1＝3
(8)第五个月初(第四个月末)，原来的父母兔(小兔)继续又生第三对小小兔；同时第一对小小兔也生下第一对小小小兔。
现有的兔子总数是(对数)
F5＝3＋2
由此递推，所得数列
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…
得到一个递推公式
Fn＝Fn－2＋Fn－1　　　(n＞2)
能不能取得一个最一般的公式，用以表达Fn呢？我们选用了具有普遍意义的差分方程法来求取这项具一般性质的Fn。
显然，递推公式指出斐波那契数列适合差分方程
f(x＋2)＝f(x＋1)＋f(x)
取
f(x)＝A ax
有
a2－a－1＝0
a1,2＝1±52
得两个解的组合式仍是f的解(通解)
f(x)＝A1ax1＋A2ax2
＝A1(1＋52)x＋A2(1－52)x
因递推关系式中的初始条件为：
f0＝0　　f1＝1
f0＝A1ax1＋A2ax2＝0f1＝A1ax1＋A2ax2＝1
即　　x＝0　　　x＝1
有
A1＋A2＝0A1a1＋A2a2＝1
解得
A1＝15　　　A2＝－15
最后，斐氏数列的通项公式以大写Fn表示
Fn＝15(1＋52)n－15(1－52)n——(Fn)
(参阅“华罗庚科普著作选集，第一部分，十二、循环级数的一个例子——斐波那契级数”P34)
当初始条件为：L1＝1　　　L2＝3　　　时的递推关系成立时
Ln＝Ln－2＋Ln－1　　　(n≥3)
应用上述求取Fn的差分方程法，仍然可得Ln的通项解
Ln＝(1＋52)n＋(1－52)n——(Ln)
这就是鲁卡斯(Lucas)数列的通项式，也称鲁卡斯通项封闭式。为简便计，设
αn＝(1＋52)n
则(1－52)n＝(－1)nα－n
有Ln＝αn＋(－1)nα－n
当我们仅取奇数r＝n时
Lr＝αr－α－r——(Lr)
这个Lr即本文所使用的鲁卡斯数通项式。
兔子的个数永远是整数，故Fn、Lr都是正整数。