任意角是这样三等分的——图学中行为科学的妙用
下载任意角是这样三等分的! ——图学中行为科学的妙用 （一）图学中的科学行为 就图学的结构而言，它是由理论几何学与行为科学组成的，由几何作图（平面几何）奠定基础，发展到画法几何、工程图、地形图等。这些都可表达到二维平面的纸张上，但制图过程总要依据几何原理经过人的科学行为（制图）表达到平面上的，所以图学是几何学与行为科学有机结合的综合性学科。 理论几何学不考虑图形的制做过程，不考虑人的科学行为作为几何理论思维与最终图形之中介存在。它认为点、线、面、体诸元素都是理想中的概念存在。点不占有空间，只有位置，它在空间任何方向上都无量度；线只有长度而无宽窄、厚薄等等。所以理论几何中的图形只是思维运动的一种几何概念，如果按它的点、线、面的定义要求，纸面上是无法使人看得见的。关于这一重要“理论现象”，因为是理论几何学存在的当然现象，反而却被人们忽料了，以为书中作出的可见图形成了当然的存在。这当然是一种习惯疏忽。可是图学不然，图学从几何学的一个分支——几何作图，开始，就要求人运用工具（仪器）做出图来，它从几何形式的思维运动经过“作图”表达这一“几何思维”在二维平面上的。图学要求人的实际制做来完成图形，于是，人的制图行为成为图学的必然过程，引来了“科学行为”问题。 科学行为问题已经形成为当今一门重要的社会科学分支——行为科学。可以简单理解行为科学是理论科学实践的过程中对人的科学行为规律进行研究的学科。从中可见，它是从理论到达实践目的的必然中介，要实践理论，必须人实施以各种科学行为才可。 从上述意义上，也可说图学是理论与实践结合的科学，它受理论几何学的指导，同时又要求作出图来，只有通过人的科学行为才能实现。这就成了纯理论几何学的思维运动“纸面上无法看得见的图形”与通过人的行为实践完成的可以看得见的图形之重大差别，前者只是人脑的思维运动，后者是将思维运动表现成了可见（从外界再反馈给人的思维）的实在图形。图学的图已成了实物，占有了客观，并能够第二次对人的思维进行反馈，而理论几何学的图仅仅是存在于思维的一种运动，它不构成实物、客体，不存在反馈给思维的职能。 更具体、确切些，既然图学中的图是要求人的行为去实现的，构成了客体，那么，图上的元素（几何的）只能是有位置、有空间的元素，而不能还是理论定义中的元素了，事实正是这样的。其次，介入了什么样的行为呢？我们就图学而言，只能说是几何科学行为，比如确定点位置，称为点行为；作直线，称直线行为；作圆，称圆行为等。此外，还有“重复行为”，“测量行为”“同时行为”等。 科学行为不是随意采取的，行为有“标准”，如几何作图中的最简行为标准就是直尺、圆规、铅笔。严格说，铅笔（墨笔）不是标准，它是行为的集中执行者，具有工具与标准两重性。 一旦行为去实践理论时，理论结果与实践结果之间就存在误差。这是因为世界上有一条原理——世界是不可逆的。它是指世界的一切运动都不会重复，一去不复返（大意）。当然也包括人的行为不可逆，因此，只能有近似一样、重复，无有绝对一致的重复。大到天体正在远离而去，宇宙正在扩大之中运动着（哈勃原理），小到针尖第一次扎入的洞孔，跋出后再扎第二次时，不会绝对重复在第一次的洞孔内。 请注意，对于“世界不可逆原理”，不少人都给疏忽掉了。图学中已经存在了这个大漏洞，但从实践要求看又是一种必然，不是什么“漏洞”。图学要求人的行为去实践，实践与理论间存在必然误差，因此可以认为图学中允许可逆，这是图学能够存在的“生存条件。”只是未被人们注意到，未加以强调罢了。比如，“过线外一点，作该线的平行线”，线外一点与该线的相对位置已被确定，按“世界不可逆原理”，人们是无法再一次准确无误通过那一点（作平行线）的，但图学的“作图理论与方法”允许“再次通过”，等于言明图学允许可逆。因此，以图学是理论与实践相结合的科学观点看，图学允许可逆被人们忽略了。“遗忘”了作图是要加入人的行为的，却按纯理论看待图学，就会出现不恰当的思维方法。 还必须强调指出，图学允许行为可逆，广义为行为的同时、行为的“第三度”进行。允许行为可逆，不光是点、线、面的制图重复，其中“测量行为”也是图学中常见的一种必然行为，实质上，测量是将平面（二度空间）元素，利用允许行为误差存在，取到分规上、直尺上（此时产生第三度空间，因元素已经离开平面）使用比平面多一个维数的立体空间，将点、线、面相对位置转移。“同时行为”更为图学作图所常见，如过O点作直线长 ，“过O点”与“测量 ”两个行为同时进行。 无论“同时行为”还是“第三度行为”都是在允许行为可逆基础上进行的。行为本身就是四维的运动（时间维、空间维），允许可逆自然是在四维时空中进行。 有了上述图学是几何学与行为科学有机结合的一门综合性学科的基本了解，现在我们看看人们怎样把图学允许可逆忽略掉的： “仅仅使用直尺与圆规不可能进行任意角三等分”这个世界图学难题，恰恰可以利用科学行为在四维时空中允许可逆得到解决。 吉林职业师范学院工程图教研室主任马一勋同志在该校１９８８年第一期学报上发表《任意角三等分的简便作图法》一文就是一种范例，这里把《作图法》从简节录于下： 作图步骤： 1．过A点作 2．过A点作 3．用圆规（分规）测量 ，将2 长标记在直尺上，得尺上两点D’、C’，有 。 4．将直尺拿到图上来，使D’落在 上得D点，C’落在 上得C点，并使O、D、C保持在一直线上，连O、D、C直线即三分角线。 证明： 作 的二等分点B，连 。因 为直角三角形，则 。 又因作图取 ，故 。得两个等腰三角形 和 ，其中： （三角形外角等于内对角和） ， 。 作图使 ，有内错角相等 ，于是得到 。于是得到 。 这里 于是 证毕。 他使用的仅仅是直尺、分规、铅笔两仪器和一支笔将任意角 分成了三等份。 现在我们来分析他是否犯规，何处犯规。 首先我们注意到他的证明无差错，是存在的，重点分析就在“作图步骤”上。 步骤很简单，仅四步： 步骤1，“过A点作 ”允许，不犯规。步骤2，“过A点作 允许，不犯规。 步骤3，“用圆规（分规）测量 ，将2 长标记在直尺上，得尺上两点D’、C’，有 。”这是测量行为，在作图中线段测量都是这样做的，与常规测量一样，不犯规。 步骤4，“将直尺拿到图上来，使D’落在 上得D点，C’落在 上得C点，并使O、D、C保持在一直线上，连O、D、C直线即三分角线。。” 这是测量行为与过O点作直线的直线行为的同时行为。能不能被人们接受，是不是犯规动作？问题就产生于什么是图学。 有人说，这个步骤是“硬凑合”的，是否常规作图规则所不允许的？什么是常规作图规则？“硬凑合”与常规规则比比看！ 又有人说，这一步是“多次逼近”作出来的，不是“一次就绪”的。那么又有问题，作图中的所谓常规步骤、方法中哪个作法能属于“一次就绪”的？哪个作法不是“多次逼近”的？比如，过一已知位置的点作一直线的作图法，按常规法做，谁能“一次就绪”而不是“多次逼近”这个点的位置上的？ 通过这种讨论，问题被引伸与展开，追究到科学行为问题上来，原来图学有个“生存条件”即允许行为可逆被人们忽料了。却不自觉地将理论几何图形当成了“可见的”，不是概念中的思维运动，把它当成了客体存在，进而又用这种思维中的理论存在来要求作图过程产生的“硬凑合”、“多次逼近”等疑团。另一方面，人们将图学与理论几何学等同起来，忽料了科学行为在图学中的介入，并起到关键作用，正所谓“理论脱离实践”者也。 初等几何学中的“几何作图”乃图学的基础，更不例外，也是图学范畴。毫不奇怪，古代希腊人提出：“任意角三等分”问题时，由于科学发展的阶段性质所限，不了解图学是几何学与行为科学有机结合的综合学科是可以理解的，今天的世界已大不一样，自然科学与社会科学交叉现象逐渐增多，科学与生产高度发展，使自然科学与社会科学相互依存、相互发展也日臻完善之中，因此，随着对２０００多年前遗留的问题有了新的更高层次的认识和了解，解决它们的办法也随之应运而生了。“马一勋事件”（前面的任意角三等分的解法）正是这类事件开始阶段的一个典型，今后会有更多此类事件发生。 科学概念也将扩展，它必须是理论与实践相结合的有机客体，科学的发展使之人为地区分社会科学与自然科学，显得很不科学。“马一勋事件”说明，靠自然科学解决不了的问题，经社会科学与自然科学有机结合后，变为可以处理的、解决的，乃一种科学发展趋势，不是承认与否的简单问题。 我受到启发，使用类似作图法，找到另一作图步骤： 1．取任意长 为半径作圆 2．从直尺的一端测量 ，标记在直尺上 。 3．将直尺拿到图上来，使直尺的端点O‘落在 的延线上，得C点，另一点B’落在圆上得B点，并使直尺通过A点。 4．连A，B，C三点后，作 ， 即 的三等分线。 证明：如图 作辅助线 因为 ，在两个等腰三角形中有 ， ， 故得 这里 证毕 这个作法又进一步，更加简捷、明快。其实，到步骤4，连上A、B、C成直线已经完成三分 ，因 。 如果将马一勋的步骤4改写成“将直尺拿到图上来，使C’落在 上得C点，D’落在 上得D点，并使直尺通过O点”，两种证明的手法、写法是完全类似的。 （二）图学中的哲学问题 既然理论几何是人脑的一种思维运动，是不可见的纯想象过程，那么思维运动与客体存在哪个是第一性，哪个是第二性的老问题和作用与反作用正向与反向，先与后的问题就出现了。其本质仍然是“认识与物质谁第一性谁第二性”问题。 辩证唯物主义论述“物质是第一性的，意识是第二性的”。 从最简单的宇宙发展史可知，人类后于天体，天体产生人类的事实证实了人类独具的思维现象是在天体上各种物质运动纷繁的衍化过程中由人自身的不断劳动发展到思维活动的。所谓思维活动正是物质运动在人脑中的反映。但它不是简单的“反射”，它在反映过程中交织着分析与综合、由抽象到具体，从低级到高级的辩证发展，即所谓的反作用产生。此时仍然留存于人脑的运动（思维）正是被 我们称做的认识。它尚未变为（形成）客体（人的思维之外）的物质形式存在。 将它用来阐明图学中出现的理论几何与行为过程，“理论几何阶段”仅仅是认识阶段，“作图行为阶段”是实施成现实存在的阶段，变为客体。整个过程是由抽象上升到具体、由思维运动到物质的反作用过程，并经过一系列分析、综合实现的。 以“任意角三等分”的解题过程观察人的认识与实践、作用与反作用、分析与综合如何经抽象到达具体的： ａ．理论认识阶段。这个问题先从认识开始，它基于几何学理论基础产生。世界的客观运动一部份规律反映成“几何学”，在进入图学阶段时，实施行为占据主要矛盾，因此，它自反作用开始。解决的问题表现为上面两种解法的几何理论关系被找到、认识。 ｂ．认识阶段的分析与概括。应当是第二个阶段，但分析与概括又是认识的“完结”、上升，分析则是认识的开始、初级。划作第二个阶段是因为分析与概括相对下个阶段又是一种开始，认识的完结（相对）行动的开始，这又是一个层次内的辩证发展中的衔接。解决的问题表现为建立在认识阶段几何理论关系基础上的行为准备，但还不是行为本身。 ａ、ｂ两阶段都是人的思维运动过程。 所谓“行为准备”，是作图行为的思想准备。具体说，由于“认识到了一种新的几何理论关系”，产生出“直线行为”、“测量行为”的“同时行为”是存在的分析成果，此其一。其二，“直线行为”是以直尺为标准完成的，“测量行为”也可以直尺为标准完成，因此“直线行为”与“测量行为”可以形成“同时行为”来完成。 “行为准备”到直尺上，此则物质准备。 其三，也是最重要最关键的一步，它由行为准备产生：什么是直尺、圆规？什么作用？它们与人的关系、与图的关系是怎样的关系？回答是，尺、规是行为的标准；是由理论到实践的物质保证；是人的思维与物质实在的中介；是体现人的思维之行为的载体。 ｃ．科学行为阶段。 行为的对象是完成图的制做，图就是制图者的产品，物质形式的几何理论思维的发明创造。它是在ａ、ｂ阶段之后，对于“图学”剖析，将其中的纯理论部分与行为部分分开，再剖析行为的标准和物质保障，进而对于尺、规的作用、人的行为要求、自然运动规律的可能与可行三者的关系进行辩 证分析，认识到直线行为与测量行为能够确立同时行为，并集中于“尺规”物质上完成的。 到了行为阶段，除了物质基本准备之外，还有“行为规则”，如同工厂加工零件时的工艺规定，加工秩序。只要按“行为规则”去进行，就可以保证完成了制图。在“行为规则”下任何人掌握“尺规这个发明，都可以制出任意角三等分”的图来。 所谓“尺规”，即尺与规的综合行为标准，它具有直线行为与测量行为的同时行为职能，它就是“不可能用直尺、圆规进行任意角三等分”和可以用直尺、圆规进行任意角三等分的逻辑关系的桥梁，或者叫做发明。 每个发明家所发明的创造物，都是完成了两个事物或多个事物间看起来没有逻辑关联，其实存在逻辑关联，并且这种逻辑关联被发现后产生出来的。寻找这种逻辑关联往往成为发明家的中心任务。 此则即辩证唯物论中的“世界普遍联系”规律。 人的这种能力，当今世界统称“创造力”，它与智力是人类不同的两种心理品质，虽然智商低的人其创造力不会很高，但是智商高的人其创造力也不一定高。 创造力研究与人的创造力开发在思维科学里占有很重要与现实意义。 先进的科学仪器、生产工具等发明创造都是人类在各种生产与科学活动中发现问题后，经过人类思维对问题分析、综合，找到矛盾所在的逻辑关联发明的，它的这种逻辑关联又一定是在某领域内的自然规律制约之中，受规律的支配。 “尺规”就是同样一个简单的新仪器发明。发明的要点，可以归纳为： １．区分开理论几何学与图学。 ２．重新认识理论几何学与图学 ３．理论几何学中的图，按其定义是无法看得见的人的思维运动；图学则是理论几何学与行为科学有机结合的科学。 ４．“任意角三等分”问题属图学范畴，它不是理论几何学范畴的问题。 ５．人的科学行为都是人的某领域的科学实践，任何行为的实践都是不可逆的，这是基本自然规律。图学建立的前提之一就是允许可逆行为存在。这种存在长期以来隐约其中，未被人们明确认识和区分、分辨出来。 ６．区分图学的科学行为有直线行为、点行为、圆行为等基本行为；此外还有两种图学行为的测量行为和综合行为（即同时行为）等行为分类。 ７．图学行为是允许可逆的，也就是允许可逆过程出现的误差。包括相应的点误差、线误差、测量误差以及综合行为（同时行为）出现的累积误差。这些误差造成的原因主要来自两方面，一是仪器本身的误差，如圆规的定心脚过粗、直尺不直等；二是使用仪器的人的眼睛视觉、手行为的晃动不可能绝对准确等。 尽管这些误差允许出现在图上，图学是理论几何学与行为科学相结合的科学，所以当人制出的图在实现过程中与实现终了的全过程又始终必须满足几何理论的要求和限定。整个过程的任何时间瞬间内，制图行为都是在几何理论的支配下进行的。因此制图行为不是任何人都可以去行为的，它必须是经过相应的几何理论训练并掌握理论与接受过制图训练的人才有这种制图行为的能力。我们说，允许误差就是没有理论错误的制图误差。 ８．在上述各认识的基础之下，具体分析了“任意角三等分”的理论关系，除马一勋发现的一种关系外，笔者在他的基础上又发现“任意角等距三截法”（前述过）也出现该任意角的三倍角，两法的共同点都在于：“直线通过定点，且从该直线的一端计起等于两倍定长”。 ９．这就是说，可以在制图行为过程中，将直线通过定点的行为与测量两倍定长的行为合并成一次的同时行为来完成！ 这种行为制出的三等分角，既在允许误差之内且满足理论要求，它在相对关系中，一次完成多种行为还会使允许误差减少。 １０．如果这样的直尺与测量用的分规结合在一起使用，用来专门去三等分角，它就是一个专用仪器，我们给它个名字叫做“尺规”，因此说，“尺规”应是一个新仪器“发明”。 （三）标准与测量 图学的行为标准中点点，划直线，划圆是三个基本行为，它们的标准就是规针、直尺、圆规。 制图是离不开直尺、圆规的。今天的计算机绘图，在终端屏上仍然是显示屏中的很多个光点建成的线。依靠直尺圆规制图的最基本要求不在图纸的允许可逆行为造成的误差上，严格说乃在于制图人和读图人的思维运动中，不论直尺上用放大镜观察有多么不直，只要满足理论要求都被人们认可，直尺与圆规本身的制造精度也是以满足几何理论要求为最大制造要求的。显而易见，这种基本条件的范围是宽广的。 因此，满足上述基本条件的直尺与圆规等仪器已经成为了图学的科学行为标准。 我们的图学专家们没有另外的统一的、公认的“制图行为准则”，谁人的圈子划的圆与不圆，线划的直与不直，唯一的标准就是圆规与直尺，全凭这几件仪器的制造厂家制造的好坏。当然厂家生产的仪器也“不能太不像样子”，总得“说得过去”，这“说得过去”可能就是目前某些国家计量局的标准了。 此外，还有一个“人的生理标准”。虽然你我都有一双眼睛，但由于我的眼睛存在某些生理障碍，划的圈不圆、直线不直，也“说不过去”。因此，对如此诸类的生理要求，都在不成章的心照不宣中，并不当成必不可少的条件，要求图家的眼睛“必须达到一点八”。如果某位图家已是老眼昏花时，我们可以规劝他配上一付矫正到“正常”程度的眼镜，然后再画也就可以了。 本来这些“标准”在理论几何中，甚至都可以不必提及的事情，由于真的作出了任意角三等分，才认识到图学是几何理论与行为相结合的科学，从而提出“行为标准”来的。 理论毕竟是理论，理论与实践之差别不光中间隔着行为，还有个实践所及实物问题，显见显知差距之存在。 再谈谈测量。几乎有人类生产的那天起，测量就伴随着人类文明发展，至今它既是一门古老的又是崭新的学科，科学进步使人类的测量技术有了根本变化。 就任意角三等分的初等几何作图方法中的测量，来分析一下这种测量的性质。 在这种测量中，如果仅限于平面几何作图的测量，平面是二维的，则测量就是使用空间的第三维（平面二维之外的一维被增加进来）将平面二维中的元素转移的技术。 它当然也是行为的一种，因之也应允许可逆，即允许测量误 差在某限度内。 分规在二维平面图形上量好一段线段后，是将此线段固定为规脚距离，使其产生第三维的空间运动得到“量取”或测量的。用常刻有各种长度的直尺直接测量（如丈量土地）也可在平面图上用分规测量误差较小些。 测量误差也在允许之内，即允许可逆行为造成的误差。测量误 差的出现，多出于每个人的生理条件，“手眼是否相随”，还是以“说得过去”为准，它不属几何理论错误，更没有统一准则。 至此，一张图画出来了，角被三等分了，它是否正确？从上述各段看，允许可逆过程造成的误差实质是没有限度的，一般“说得过去”则可，唯一的限度是几何理论证明必须存在。恰恰三等分任意角的两种方法，一有几何理论证明、二都“说得过去”的允许可逆，因之它们是存在的。 （摘自《运动论》P47—P59页）