单值全息律与相对无限
选自《运动论》234页
下载单值全息律 “单值”一词是套用了拉普拉斯的“单值决定论”而来，它强调单纯必然 的因果论，不承认或然偶然论。 我们的“单值”是从大自然产物的整体结构中抽象出来的“数学构架”，大自 然运动链条中的“数学环节”，具有自然产物、自然运动的一切数学特性。它 只涉及数学意义并通过自然物与运动表现世界观。 当“单值”表现它的封闭体系方面给我们看时，它同时并不隐蔽自己的开放体 系方面给我们看。比如，有人说一个函数关系中是由自变量和因变量组成的时 候，若将这个函数整体看成“单值”，那么，“单值”就告诫我们这里的自变 量与因变量都不是绝对的，它们都只是自然运动链条的“中介环节”，由于自 然运动具有定向，所以它们自身表现存在只是先后的时间差别，每个量接受影 响也影响后代，是结果也是原因。所以自变量并不“自”，因变量也不光“因 ”。在这个函数的自变量之前，该函数的外部仍有超前一级的“自变量”来影 响该函数的自变量，使之成为一种尚未被纳入函数的因变量，或叫做“相对自 变量”。同理，该函数的因变量（也就是该函数）之后，该函数的外部仍有落 后一级的“因变量”来接受该函数的因变量之影响，使之成为一种尚未被纳入 函数的自变量，或叫做“相对因变量”。没有绝对自变量、因变量就是大自然 产物与自然运动给予我们的“单值”的数学特性，其表现称之为“辩证载体” 。 自然物体中的动物、植物、矿物都是这个“辩证载体”，高级标本，且它们又 是自然运动的积极参与者和构成者。 动物是一种个体存在的统称，每个动物被辩证载体的眼光观察，都可以是单值 （数学称谓），它们都吸入氧气，又呼出废气；食入营养，排出废物，受外界 影响又影响外界。植物也同样呼吸、光和、汲取水份营养。矿物内部的聚团、 分子、原子接受太阳的辐射，同时也向外辐射。看起来好像只是动、植、矿物 内部运动与外部运动的衔接，实质它们内部的运动都是大自然运动的组成部分 。 从这样的客观辩证实体抽象出来的“单值”，专门表现客观实体数 学特征的“辩证载体”就会永远与客观事实相统一。所谓“全息律” 是一种生 命规律，“单值”也具备，“单值全息律”就可称数的全息律了，在数中也具 有全息现象。 马铃薯的任何一部分，无论大小，将它切割下来，栽种于土壤，它就会生长得 与母体上所具有的全部属性，并且生根、发芽、成枝、开花、结果。动物的遗 传细胞，虽然很小，也具备前辈的全部遗传基因，动物的遗传方法又较植物的 遗传方法高级，集中于遗传细胞上，而不是母体上的任何部分。近代发明的全 息照像术，几乎与马铃薯相似，将全息照像底片的任何一部分取来当成底片在 放映的灯光下仍可以放出整个底片中的图象，在它的部分中仍具有 整体中的全 部信息，称为“全息”。类同，把康托尔的“部分与整体等势”概 念扩大，并 取源于自然，加工提炼抽象再具体化，我们就会看到，如果数轴是整体，那么 数轴的任何有限部分都具有整体的全部信息，即具有全部数。如同有ｎ，必有１ｎ，ｎ可以趋向 无穷大，但１ｎ则制约于１之内，两者完全对称。 尽管“一尺之棰”，“日取其半”也会“万世不竭”。它的函数关系是： ｙ＝１２ｎ ｙ是函数，ｎ是日数。只有当ｎ→∞时 ｙ＝ｌｉｍｎ→∞１２ｎ ＝０ 因此，ｙ可以是１内的数，且有无穷多个，也是一种全息。 一段线段可以是单值，一整条直线也可以是单值，半射线还可以是单值，它们 都具有全息规律。由此引伸，一个函数，一段曲线，一个圆圈都可以是单值， 也具有全息律。 黑格尔的“圆圈论”固然受科学发展阶段性的局限，也受他本人疏远数学的苦 衷，然而逻辑思维确是息息相通的。他说：“哲学的每一部份都是一个哲学全 体，一个自身完整的圆圈。但哲学的理念在每一部份里只表现出一个特殊的规 定性或因素。每个单一的圆圈，因它自身也是整体，就要打破它的特殊因素所 给它的限制，从而建立一个较大的圆圈。因此全体便有如许多圆圈所构成的大 圆圈。这里面每一个圆圈都是一个必然的环节，这些特殊因素的体系构成了整 个理念，理念也同样表现在每一个别环节之中”见黑格尔小逻辑， 导言§１５。显然他的话对于数学家来说，是处在飘飘然，荡荡焉 之中。 依笔者所见，黑格尔的圆圈论如果取之于自然，用之于自然，往往比取之于社 会，用之于社会更生动。当如单值的运动之后构成圆圈，交待圆圈的来历，效 果定佳。他的这个理论后来经“否定之否定规律”发展成为今日哲学原理中的 著名的“循环论”。 笔者就是在辩证论基础上构筑了“单值全息律”。分别谈谈辩证论引入数学及 几个数学基本概念的重新认识问题。 （一）关于运动 现代科学发展有一个要求人们注意的现象，即物质被分割中发 现原子结构与太阳系完全相似。在原子核周围运转看它的电子行星，原子核则 是这些行星的恒星，原子核的尺寸大小与其电子行星尺寸的大小比例以及电子 行星与原子核恒星之间的距离几乎与太阳系中相对应参数是完全成比例的，是 完全相似的。这一基本事实应当引起人类的注意。 继续对原子中的质子、中子分割下去，又发现在它们之间不断交换着更为渺小 的介子。 到目前，假如就算只发现到夸克，那么，由太阳系到夸克之间是什么充填着呢 ？或者说，假如世界是夸克组成的，那么，在太阳系与 夸克之间就没有任何实体存在，由此我们就会得出结论“世界的整个空间都为 夸克充满”。但事情并非完全如此，因为夸克是被制约于一定物质层次之内的 。两个同样层次的物质之间是空间的完全空虚吗？显然不是，物质不断被分割 的实验告知，在同一层次的两个物质间总是不断交换各种更为低层次的（小层 次）的粒子，可能交换的是夸克，也可能交换比夸克更小的粒子。于是我们看 到，物质的运动由绝对尺寸的小到绝对尺寸的大，或相反，只有层次区别，构 成层次区别的原因只在于这个层次是组成大层次的基础，组成这个层次的基础 又是小层次。每个层次都由人定名，如太阳系、原子系……。并且，每个层次 都是大层次的连系、交换物。 我们的用意是观察物质结构与其内部运动提炼出我们的数学概念牢固的基础。 什么基础？ １．运动构成物质。 ２．物质的运动方式存在。 ３．运动本身是绝对的。 ４．运动的层次分明构成层次间的相对运动；这种相对运动又是构成绝对运动 的主体，或说，相对运动是绝对的。 ５．旋转的运动形式是存在于绝对运动的相对运动基本形式。 ６．从物质构造观察世界，大到银河系之外，小到夸克系之内，这两端仍是未 尽头，未终极、未完结运动。 《中国大百科全书，哲学》在给“运动·变化·发展”一条的条文中，较我国 现有的哲学教程进了一步：“反映物质固有属性，状态、趋向和生成过程，相 互联系而又有所区别的同一序列的概念”。“一般的变化就是运动。变化显示 着运动的不同状态；不显著的或显著的、渐进和飞跃的、量变的和质变的。” 这两句话再简炼就是“运动构成物质和物质以运动方式存在”。可见，物质与 运动的区分显见于层次、各种粒子、原子、分子、聚团……地球、太阳系、银河系…… （二）关于运动之源点的数学来历宇宙无源无了。这是 宇宙的本性、固有属性，但它可以自成阶 段。是人类长期观察实验的结论，即经验结论。 同样，这个经验告知我们运动也无始无终，也是宇宙的本性之一，但也可以自 成阶段。就现阶段的科学发展而言，因为物质与运动、运动与物质是不可分割 的。宇宙由物质充斥、构造，所以宇宙也为各种运动所表现。 这种经验在人类文明发展中，过去、现在、将来都将是人类社会攀登的既依靠 又不断加深认识循环交替的两级阶梯。自然科学中理论与技术科学也同样，举 数学的“零”（０）为例，举目观望太空，低头察看粒子，哪个地方是绝对零 点？看不到，认识不到，确定不了。但是我们可以“坐地日行八万里”，确定 地球周长，只要赤道上任一点处的地球一周都是八万里，零点又可任意选定 ，这个零点只是一定事物关系中的相对零。零的来历不是数学本身问题，数学 不作交待。习惯把零的来历划入哲学范畴，即所谓的经验。试想，零来于经验 ，其他数又如何？假如没有零，怎么理解其他的数？进而何以理解各种有理数 、无理数、虚数、实数……？运动产生数！ 不断加深认识是人类进步的另一级阶梯。 只因为有了人，人们计量与取得某事物内部或某几个事物间的定量关系时，相 对零才会确立，这就是开始时的笛卡尔坐标原点，以及其标尺——坐标，用以 度量人们所要观测的事物量变与质变关系。 我们说，这种用数及数学关系取得对人类外部客观事物的度量，正是人类思维 用数学方法对自然、社会各种现象运动的一种跟踪和反映，并且仅仅限于反映 一定的有限事物关系。我们将这种反映与被反映的关系称为“数学思维与客观 有限世界的对称”，“对称”反应出思维与客观有限世界的矛盾对 立统一。此时人类设置的坐标原点是被（或人的思维）搁置在世界 之外，用以专为表现人类思维观察思维以外某一部份世界的位置。所以数学的 坐标原点都是相对原点（零点）。当然这种相对原点到处可以确立，因之是绝 对的，即相对原点本身是绝对的。 （三）无限观悖论问题与方法 我们已经谈到无始无终的宇宙问题，反映在数学上，也是无限 问题，数学方法论的根本分歧集中于此。明显地，问题超越了数学，进入世界 观中。 几个世纪，它引起数学界、哲学界无休止的争论。由于“真无限”的难产，导 出了“恶无限”形象，使问题更加复杂。马克思主义确信“真无限”存在于世 界，并非人脑不可追及的虚构观念，也绝不是“人的自由规定”、“纯粹直觉 推理”和“纯理性思维”。就反映论的观点，多数学者认为，人的思维能够摹 写运动，反映飞跃，对于“人脑是否能够追赶得上无限运动的飞跃”问题，回 答是肯定的。因此，人能接受自然数序列作成无限集合的概念。这种观点，设 想在坐标轴上一个动点从坐标点１处向原点０移动，当动点在达到０时，它就 完成了所有无穷点集（数集）（１，１／２，１／３，…１／ｎ…）中的一切 点。因为１／ｎ与自然数ｎ是完全对应的，因之所有自然数就被确定下来。它 认为在上述心象过程的思维形式中，思维在摹写运动，完全跟踪前进。动点的 运动既然不断联结并逐次过渡，那么动点就必然会达到０点，此刻反映于人的 思维跟踪立即也呈现了完成一切１／ｎ。这就是它用来解释从有限的非零数达 到无限的零点的那个飞跃阶段的理论。它的自然数序列过程结构用符号表达形 式是： 〔１，２，３，（…）０，ｎ，（…）１〕 ｎ代表任意的自然数，（…）０表示自然数的有限延伸，叫做量度阶段，（…） １代表有限性重复发生被拚弃的飞跃阶段（穷竭）即质变，其中也包含着“有限 的延伸”（…）０与“有限的穷竭”（…）１两个突出阶段。只有通过最后有 限的穷竭（…）１，才能真正完成无限过程。 这种解释从有限达到无限的矛盾，因为有限序数增长到无限，就否定了序数自 身的有限性，所以，（…）１ 中有无限多的有限序数的说法，必然引出矛盾。这就是无限观悖论的简述。 其他学派也有高论。 除了数学思想与客观有限世界的对称，不同学科有时反映同一客观有限世界时 ，尽管述语与学术概念不同，两学科间也存在一种对称。在科学史中不乏其例，或者说，学 科的发展并不孤立，它们由于存在根源的“对称”，学科相互促 进了。 物理学对物体运动的研究，并对数学提出要求，因而对称地推动数学的发展； 由于黎曼几何，对称地推动了相对论；伽利略与牛顿奠定了物理学物体运动的 惯性理论基础，它的一个数学对称是伽利略变换和数轴概念；爱因斯坦打下物 理学物体粒子运动的加速理论基础，它的数学对称则是洛伦兹旋转变换和应当 由我们创立一个“数旋”来与数轴对称存在，这个即将创立的“数旋”之必要 和原由恰恰出于数学悖论的需要与数学本身的完美。 于是，物理学与数学的这种对称地促进与发展正是一种学术研究的方法。它告 知我们，在寻求一组对称学科的某一方之解时，往往答案不在本学科内，而存 在于对称的另一方中；在一副对称中，一方有的，其另一方也应对称有之，因 此构成一个健美的辩证方法，也是辩证原理给科学指明的发展方向。 这种方法不为人们觉悟时，则提出“成功的科学家往往是兴趣广泛的人。他们 的独创精神可能来自他们的博学……独创精神往往在于把原先没有想到有关联 的观点联系起来。此外，多样化会使人观点新鲜，而过于长时间地钻研一个狭 窄的领域则易使人愚钝。因此，阅读不应局限于正在研究的问题，也不应局限 于自己的学科领域，实在说甚至不应局限于科学本身。”Ｗ．Ｉ． Ｂ．贝弗里奇，科学研究的艺术，科学出版社，１９７９年，Ｐ４。 实质上，人的思维与客观世界，科学各学科间，一个学科领域之内，科学与社 会等等都存在着关联的必然性，每一个关联都“表达出一个特殊的规定性或因 素”，“它自身也是整体”，构成一个特殊的对称、循环、圆圈、全息，也是 “世界是普遍联系规律”的一个浅释。 我们提出悖论，同时提出方法就是提出问题要求和解决的途径，为此需进一步 完善认识。 （四）关于零（０） 前已谈及世界不存在绝对零点，只存在相对零点。 但时至今日仍然依靠着“等号数学”表达物质、事件的运动关系中量变和质变 ，于是，“等号数学”自带的存在于相对零点上，断绝了自变量与函数之外的 联系，表现出一个相对静止，因为只要考虑到自变量仍受外界影响，函数仍影 响外界，它就不是等式。 ｙ＝ｆ（ｘ） 进化为 ｙ－ｆ（ｘ）＝０ 于是出现零。用它描述事件的量变关系，自带地指明事件中有变量的起点，它 们间有ｆ形式的守恒和相对静止。 基于运动的绝对存在，出现零只表现相对事物，不可能摹写世界绝对运动的面 貌，因此它是绝对运动中的一个片断。随着时间推移，它所表达的事件关系将 发生畸变，所以物理学规律中的常数实质是变数，若干时间后总要修整一下， 否则规律的误差越来越大，以致不堪使用和信任。 于是问题展现出来，两个事物间存在转换关系，它们是怎样变换的？此时零的 地位、作用是什么？也就是，客体怎样产生、形成的？这里包括函数内与函数 外的衔接，指的是单一客体的绝对生成。 既然有生成，那么必定有消亡，生成物的物质来源于消亡物的物质（并不一对 一）；有生成与消亡，必有量变到质变；这种转换的双方正是矛盾对立统一体 。是辩证法原理。 我们的注意在于零。绝对意义下的零已经不是数学的无，何况零的来历也已超 出数学进入哲学，因此做出恰如其份的“绝对零的定义”，只有辩证法语言： “矛盾对立统一体，对立两事物双方在连续不断转换运动中，旧事 物向新事物由量的过渡到质的变更之标志。” 这是辩证法思想对于数学科学的一个具体应用，它的取得（这个定义）经过对数学边界条件 与外界的关联，绝对运动概念的渗入，提高到哲学原理的认证， 再返回到具体学科的数学建立的。 从这个定义，我们看到了什么？ １．动态特性。旧事物向新事物的运动。 ２．零点是新事物的诞生点，同时又是旧事物的消亡开始点。３．方向特性。旧向新发展 方向一定。 ４．量变到质变。 ５．矛盾对立统一体。 ６．零是以上５点的区分和标志。 建立这样一个零，不是为了哲学，恰恰是数学悖论的需要。当然，光有一个零 还不足以解决问题，概念的确立与认识的提高是科学理论建立的坚强基础和组 成部分。 （五）单值 “单值”起原于欧洲２０００多年科学发展中因果关系的传统 思想，这种因果关系存在一种单纯必然性，因而把恪守这种科学发展意识形态 观念的观点叫做“单值决定论”。 我们这里树立的“单值”是个完整事物，具有数学的封闭状态。它不是简单的 一。 由于人类长期生产、生活实践与人类直观感觉器官对外界“个体存在”的反映 ，首先接受并使用的是加法计数产生的数，在“一”已被人感知（反映）后， 人们把另一个同样的事物与原来的“一”进行简单积累，把它们的总和称为“ 二”，随时间延长，积累产生“无穷大”，这种感性认识是直线无限发展的， 完全与半射线上起点是零，以定长“１”为截距，在射线上等步无限截下去相 似，于是感性认识建立起“数轴”，等截距从零开始计数１，２，３…ｎ…。 这种古典的直感数轴概念至今未因科学的发展而发展，甚至固化，导致无限观 分歧。其实，从０到ｎ已经人为填进了简单积累的加法含义，它是一种“惯性 递加数列”，这些数如果不含惯性积累（递加）含意，那么“早知道吃第七个 包子能饱，何必吃前六个”就变成了事实，才真正可怕！ 我们并不反对这样的计数方法，可以叫它是“加法原则”反映数和数列方法。 问题是方法产生问题，问题靠方法解决。只要时间不断流逝，“无穷大”就是 个抽象的概念，人们既要借助又很厌恶，在尚没有相应的解决办法之前，使用 思维跟踪的心象过程来“产生”如何从有限到无限的飞跃，到头来，仍然出现 “有限序数的无穷多个”之矛盾，其根本原因还是ｎ的问题未解决，所以１／ｎ的问题也未 解决。 问题出在数轴理论存在着隐含前提未加明确： １．设置了“零”点，未明确相对运动的意义，这个零是人的介入引起的。 ２．设置了定量“１”。“１”的长短大小又是人的规定。 ３．将“自然数序列”定在加法原则上产生，在总是加“１”中推出数的序列 。 ４．限定了无限直线运动方向，总是惯性无限加“１”。 将这４个隐含前提揭示后，首先看到： １．它与物质世界运动规律差距太大。生物的全息现象一再表明大与小、无限 与有限是相对事物，并非这种惯性数的序列表示的绝对无穷大。 ２．爱因斯坦说：“你所看到无穷远处的形象就是你的后脑勺”，物理学结论 也与之为难。 ３．“有限与无限是互相囊括存在的”（黑格尔语），哲学思想也与之不一致 。 基于来自世界的理由，要求重建数学秩序，正如希尔伯特在他的“论无限”的 演讲中呼吁数学界拯救集合论的危机所说：“……在数学这个号称可靠性和真 理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会 导致不合理的结果。如果数学也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性与真 理性呢？……” 在探索过程中，使人知道《庄子·天下》篇说：“一尺之棰，日取其半，万世不 竭”，实质是一条原理。它把空间因素与时间因素限定在“一尺之棰”和“万世 不竭”中，“万世”指时间的无限性，“一尺”指空间的有限性，我们则愿 以“单值”介入。“日取其半”则是无限时间对有限空间的分割运动。这里的 时间的无限性恰恰是指运动，而它是一种除法概念完成的。当然并不只限于“ 日取其半”一种除法，我们所追求的和看到的是这个原则的大范围意义是积极 的、有效的。这项“除法原则”建立的数的概念与“加法原则”建立的数的概 念区别于运动方式和以空间与时间的相对关系（除法）表达数的，因此，它并 不首先设立“０”、“１”，排除了由于惯性递加引起的绝对无限，树立了相 对无限。 一个除法关系表达数的函数形式最简式是 ｙｘ＝１ 它也可以“加法原则”形式出现 ｙ＝ｘ ｙ－ｘ＝０ 由此可见，除法原则可以变换成加法原则表示，也可以相反形式表示。 除法原则出现“１”，恰是数的代表。且除法是可以变换成指数、对数、乘法 多种关系的方便，这里就不从繁了。 加法原则产生定向等加数轴上的“段”（空间）的计数，出现“段”的无穷大 ；除法原则产生定长等分分元中“分”（运动）的计数，出现“分”的 无穷多。“段”为相对静止的空间量（线段），“分”为相对运动 的时间量（单值被分割），随时间的延伸，加法原则的真无限是不可追及的， 而除法原则中真无限是确实的事先限定的被除数（或１），只是其内的分量（ １／ｎ）在除数趋向无穷大（ｎ→∞）时无限缩小，相对地被除数（或１）就 是相对无穷大。同时可以看到，除法原则数是单值被分割的次数，它在时间上 、空间上都排除了定向积累、逐次递升、始无末有、等步占有的隐含概念，除 法原则不继承前面的四个隐含假设。 除法原则在无限分元中出现的单元（如１／ｎ），虽然其自身正在随时间的延 伸成倍地缩小着，数成倍地增大，但它是无穷多，加法原则产生的数是无穷大 。人们可以指定正在除法原则中运动的单值的一端为起点开始计其中单元的数 ，则出现无穷大，这个观察完全对应加法原则，所以除法原则包括着加法原则 。由此可知应用除法原则，并不随着人们怎样取得数的序列隔绝无穷大与无穷 多的同时间、同空间诞生的特性。除法运算可以代替乘法、加减法运算而不能 相反就是上述原因所致。 对比加法原则与除法原则后，产生如下重要结论： 加法原则中，“１”是确定的，“∞”（无穷大）不确定，始终处在随时间的 延伸无限等加增大的运动之中。 除法原则中，“∞”（无穷大）是确定的，“１”（单元）不确定，始终处在 随时间的延伸无限等分的缩小之中。 １与无穷大是相对事物。１被确定，无穷大就不能确定，这种情况产生于加法 原则中；无穷大确定时，１不能确定，这种情况产生于除法原则中， 二者只能确定其一。 “无穷大”一词产生于数轴的无穷尽，因它不能确定，总是运动增大由此而取 名。如今已树立除法原则，同样具有“无穷大”（相对）含意的确定量仍叫做 无穷大可能混淆概念，故也为区别概念，取除法原则中具有相对无穷大意义的 确定量为“单值”。 由于“无穷大”已被认识到只是相对事物，在相对运动中所具有的无限性质和 意义，我们则可以轻易地称任意定范畴客体事物为单值（具相对无穷大含意） ，如定长线段、定面积、任意大小的球体、一块任意重的物质等等，其相对无 穷小（单元）自然包含于其中并不断在缩小，于是人们追求的“真无限”至此 已经确实在相对运动中诞生。 单值具有两面性。当以单值为“１”，进行加法原则的惯性运动，则单值（１ ）是个相对无穷小，惯性运动向对于该单值的无穷大；若进行除法原则的加速 运动（旋转运动），则单值（１）又是个相对无穷大，加速运动向对于该单值 的无穷小（单元随运动缩小）。此则是有限与无限的矛盾统一辩证关系。作为 有限与无限本身是相对的，但有限与无限的相对性是绝对的。 单值的这种两向发展即单值的全向发展，尽管体（如球）的扩大与缩小具有无限方向，一旦 以数学的除法关系表达该体（球）的变化（扩大或缩小）时，则 又可以单值的两向发展取代体（球）的无限向发展，从而进行运算。如果说可 以单值的这仲线性两向发展代替数的两向发展，也只是大自然的安排，所以几 何的线的两向伸缩与单值的两向性是两码事，不能混为一谈。 数的线性发展与单值的线性发展完全对应的性质给我们带来很多方便，对于一 个函数中的自变量坐标总可以被看成数轴，又总可以将在其上变化的自变量的 增量Δｘ看成除法原则产生的单元。在除法原则中 单值是确定的（相对无穷大确定）是因为在单值中无限缩小的单元不确定，所以相对之下确定了的单值就是相对无 穷大。现在我们考虑的对象是一个函数及其自变量的增量Δｘ，并不首先指明 “除法原则”、“单值是确定的”，而只是必须使“Δ ｘ趋近无穷小时Δｙ／Δｘ的极限”。两种提法的次序不同，其内容是完全相 同的，所差之处前者指出单值确定，后者因为是函数则函数的增量Δｙ确定。 同样，把自变量的变化限定在〔ａ，ｂ〕这个相对无穷大（单值）后，来求ｆ （ｘ）与Δｘ乘法关系自ａ到ｂ的总和，就是上述原理的反运算确定的定积分。 我们能够注意到，除法原则把握的是运动量（分割的数），加法原则产生的数 是物量或几何量（被分割的线段数）。故，除法原则控制的是时间、运动，而 不被时间所控制。在大多情形中，除法原则的运动量又都表现为除法的分母， 函数中即自变量，引起函数变化的起始原因。 运动中的正在无限缩小的单元概念分解开说，就是单值被分一次后，取其一部分 再分第二次，再取其一部分分第三次，乃至无限次分割下去。可见，每取出被分 割的一部分内都含有无限多的单元，或者说其中都具有数的全部，正如所谓的 康托尔的“部分与整体等势”，它完全与生物细胞的全息律、全息照像底片的 性质相似，只要将该生物或底片的任意部分取出培育、放大，它们仍具有原生 物或底片内的全部信息，但降低了清晰度。单值具有的这种相同规律称为“单 值全息律”，但它已是数学规律。 单值的这种数学规律正是数学能够进入各个领域的根本原因。 那么，加法原则能建立起自然数序列，除法原则也能建立类似的自然数序列吗 ？又是怎么建立的？“单值的旋转”与此有关。 （六）单值的旋转 既然产生了单值，那么除法原则的单值是怎样运动的？ 加法原则中，当０、１确定后，只要１不断向前翻筋斗或者不断向一定方向翻 ，自然数点就会在每次１的端点，筋斗完了的着落处。 我们说除法原则的单值运动是旋转运动。 在开始单值的旋转之前，我们作了一项不尽情理的任意的规定，即设单值的起 始旋转角等于零。由于相对零是任意的，这项规定可以认定。然后看看除法原 则的单值运动是不是旋转运动、怎样运动的。 假如也给定两个变量的除法关系等于１ ｙｘ＝１ 我们就要追问，这两个变量是怎样在守恒条件下从０开始到达１的？加法原则 中的数是加进的，叫做惯性运动，除法原则又是怎样“除进的”？是什么运动 ？ 很容易联想到，除法的长进关系是商高定理 ｘ２＋ｙ２＝１ ｙｘ＝（１ｘ ）２－１（１＝ｘ→０） （０≤ｘ≤１） 当ｘ＝１２时，或ｘ达到１２时 ｙｘ＝１ 商高定理保证了除法ｙ／ｘ从０到１的连续守恒。此时单值（这里已在商高定理中设定Ｒ＝１，单值等于１）在商高定理 的约束下，运动轨迹正是圆，即单值的旋转，且从０角升到π／４ 角。因此，我们说，商高定理满足除法原则要求。并且将这种“除进”叫做加速运动。 于是，回答了除法原则单值的运动是旋转运动与怎样运动的问题。 就线性运动而言，商高定理表达的除法关系是最佳选择、基础关系。如果是椭 圆，则有 ｙｘ＝ｂ１ｘ ２－１ａ２ 与圆同类型，但半轴是两个参数。 显然，当单值旋转时（按习惯逆时针旋转为正向），一部分ｘ减少，一部分ｙ增加，ｘ“转换”为ｙ，ｘ的减少使ｙ增加都因为旋转运 动，我们说，旋转运动在守恒条件下ｘ向ｙ “转换”，或直接说，旋转伴随转换、除法的旋转运动 必然转换。 一诞生后，二怎样产生？ 这要看我们所要的二是什么概念。如果这个二是加进的 与一的大小应相等，那么可以在一所在的π／４角处为起点的０度角，再旋转 出第二个π／４角，于是又出现一个１，不过后树的１是衔接于前个１旋转单 值产生的。这样产生的自然数之间等弧距，都是π／４，都是在圆周上，而不 像加法原则数是在数轴上。 我们将这样的除法原则产生的旋转于圆周上的数称为“数旋”，它完全对应于 “数轴”。于是很容易想象所谓“无穷大”概念在数旋上，指的是且仅仅是单 值的永远不停旋转运动（从指定的起点０计起），有起点无终点。 这种概念产生的自然数，恰好一周是自然数“８”，若选用八进位制使用它表 达是很方便的。 无限的数在有限的单值旋转中，有限的数又存在于单值的无限旋转 中。正所谓“有限与无限是相互囊括存在的”。 “数旋”的建立之最大的方便是计算和概念更新。数旋上的数就是弧度数，如 π２＝２，π＝４等等。初看很别扭，其实并不然 ，只要将π的数值按数旋数改变一下即可。 “数旋”上的自然数在圆弧上均匀分布，等弧距仍然是加法原则在数轴上建立 自然数的等步逐次积累概念，不过这次是建在圆圈上的。这样树立的数，乃是 树立一个“１”之后，以这个“１”为起点的零，再树一个“１”，等步再次 积累到无穷大。这种“数旋”与数轴比较，它们都以“１”为变量的标尺，一 次一次去度量，前者是“１”的旋转，后者在直线上度量；前者的运动方式是 等半径旋进的，后者是“加进的”，而这种加进概念摸糊，不像旋进以方程 ｙｘ＝１ｘ ２－１（０≤ｘ≤１） 表达出π／４弧上的连续性、守恒性。或者说，每一个“加进”的数点之间的 衔接都是人为的。 上面仅是一种取数方法，不排除其他。 前已提到，在除法原则中伴随着ｘ量向ｙ量的转换，ｙ从０生长，直到 ｙｘ＝１ ｘ从１减少直到１２。如若 取１为相对无穷大，那么，零是“矛盾对立统一体，对立两事物双方在连续不 断转换运动中，旧事物向新事物由量的过渡到质的变更之标志”；相对无穷大 （因为其内的单元在无限缩小的运动中）则是旧事物的终结，是新事物的物质 基础，有衰亡的方向性；把绝对运动概念加进去，恰好第一个“１”的π／４ 弧旋转完了处是第二个“１”的旋转开始之零。因此，每π／４处有一个ｙ／ ｘ，不同事物应以不同文字（字母）表示，８个除式的不同事物构成一个循环 。 （七）两个新重要极限 这是“数旋”的相对无穷大、无穷小概念的一个应用。 当单值旋转到１时，出现 ｙｘ＝１ 此时的１可以看作相对无穷大，其内的单元正处在趋向无穷小的运动中，正所 谓“无穷大确定时，单元（１）不能确定”。反过来说，由于单元（１）总是 运动向０，那么，包括并以单元为计算单位的确定值就是这个单元的相对无穷 大。因此知道，如果存在 ｌｉｍΔｘ→０（１＋Δ ｘ）１Δｘ＝ｅ（纳别尔数） 则必有 ｌｉｍΔｘ→０１ （１＋Δｘ）１Δｘ＝ε 即 ｅ·ε＝１正是 ｙｘ＝１ 事实正如此。这种现象就是全息现象。 不难知道，因为 １－Δ２＝（１＋Δ）（１－Δ） （１－Δ２）１Δ＝（１＋Δ ）１Δ·（１－Δ） １Δ 取令Δ—→０的极限 ｌｉｍΔ→０（１－Δ２）１Δ＝ｌｉｍΔ→０（１＋Δ）１Δ·ｌｉｍ Δ→０（１－Δ）１ Δ 这里出现两个新极限 ｌｉｍΔ→０（１－Δ ２）１ΔｌｉｍΔ→０（１－Δ）１Δ 其中 ｌｉｍΔ→０（１＋Δ）１ Δ即ｅ数。现在，只要求知 ｌｉｍΔ→０（１－Δ）１Δ 便可得ｌｉｍΔ→０（１－Δ２）１Δ的值。 经济问题中有如下情况： 设有本金１元，因为某种原因，银行对经济人按本金的年１００％罚款率罚款 ，如果１年内不满足银行条件，以１年计，将要把１元本金全部罚去。 现在的问题是，罚款的计时办法不以年计，而是以每时每刻每秒……以无穷小 时间的１００％罚款率罚款计，１年罚去多少？几年可将１元全部罚去？ 把问题再明确即一次投入１元本金，如果把时间看成连续的，罚款办法也是按 连续时间的１００％罚款，可罚多长时间罚完１元？ 显然问题在于必须求知本金函数Ｓ（Ｔ），它已经是时间的函数。此外，本金 是正值，罚款则是负值，于是有经过ΔＴ后本金函数为Ｓ（Ｔ＋ΔＴ ），罚款是Ｓ（Ｔ）·ΔＴ·（－１００％），建立近似式 Ｓ（Ｔ＋ΔＴ）≈Ｓ（Ｔ）＋Ｓ（Ｔ）·ΔＴ·（－１００％） Ｓ（Ｔ＋ΔＴ）－Ｓ（Ｔ）ΔＴ≈－Ｓ（Ｔ） 对ΔＴ取极限，令ΔＴ→０ ｄＳ（Ｔ）ｄＴ＝－Ｓ（Ｔ） 分离变量再积分，得 ｄＳ（Ｔ）Ｓ（Ｔ）＝－ｄＴ ｌｎＳ（Ｔ）＝Ｔ＋Ｃ１ Ｓ（Ｔ）＝ｅ－Ｔ＋Ｃ１ ＝ｅＣ１·ｅＴ 因为一次投入只１元，则 ｅＣ１＝１Ｃ１＝０将上函数方程代入前近似方程 ｅ－（Ｔ＋ΔＴ）≈ｅ－Ｔ－ｅ－Ｔ·ΔＴ ｅ－ΔＴ≈１－ΔＴ 令 ｅ－１＝ε εΔＴ≈１－ΔＴ ε≈（１－ΔＴ）１ΔＴ 取极限，令ΔＴ→０，得 ｌｉｍΔＴ→０（１－Δ Ｔ）１ΔＴ＝ε ＝０３６７８７９４４１… 可见，若本金是ｅＣ１，则ｅ－Ｔ是本金随时间的增长而减少 时ｅＣ１的系数。Ｔ＝１时ε＝ｅ－１是常数。 因而得到 ｌｉｍΔｘ→０（１－Δｘ２） １Δｘ＝ｅ·ε ＝１ 虽然在实际应用中，ε可以ｅ－１代替，不必寻找极限ε，现在我们这 里是证明原理的存在、对称现象和单值全息律，ε与ｅ有完全对称的数学意义 ，所以这项工作是必须做的，不是可有可无的。 可以看到，形式简单的 ｙｘ＝１ 其宽广的内容并不简单。如果微积分是依靠ｅ极限发展起来的，那么极限ε与 极限ｅ·ε＝１会具有更加简明且广泛的作用，只不过现时很少被明确与认识 ，都有待人们去使用。 ε之方便在于： ε≤εＴ≤１１≤Ｔ≤０ 当第一年末Ｔ＝１时，本金剩下 Ｓ（Ｔ）＝εＴ＝ε１＝０３６７８７９４４１…元 罚款为１－ε＝０６３２１２０５５８…元 可见这种罚款计时法既合理，经济人也划算。 若第二年继续罚款，规则不变，则第一年末第二年初的本金为ε，罚款数是ε －εＴ，因又是一年Ｔ＝１，则 ε－εΤ＝ε－ε１＝０ 刚好两年将１元全部罚去。 因为 ｅ·ε＝１ ｅｔｉ·εｔｉ＝１ｉ＝－１ ｅ２πｉ·ε２πｉ＝１ 只有此式才是完全全息的。以往的一个结论 ｅ２πｉ＝１ 是非完全全息现象，它只给出了事情的一半，故而也有另一个非完全全息式 ε２πｉ＝１ 新理论关系到一系列基础理论。 使用新理论取得两个新极限，能够解决数学具体问题，更为重要的是我们所树 立的相对无限观被证实是存在的！尽管极限ｅ是老概念 老无限观建立的，结果还是包含在新概念相对无限之内，出现在“１”中。 世界是绝对运动的，所以是无限的，但这是抽象的存在，我们承认，并不反对 。更恰当与合理的是相对运动本身是绝对的，它为我们建立了相对无限观，并 且是具体的、现时的、能够为人民服务的！因之我们应更加崇尚与信任它。有 时从一个侧面看它，很像只是一种方法，其实质并不然，它确实是一种世界观 ，是对世界的根本了解和看法。上面的数学事实不会撒谎，极限ε的确在“世 界事物”中找得到，这种情况很多。如，古老的最大积问题，把正数Ａ２份分 、３份分、４份分……ｎ份分，求所分得各数的积的最大值。若将Ａ分为ｘ等份， 可建立函数。 ｙ＝（Ａｘ）ｘ（ｘ＞０） 的求极值问题，其解是当ｘ＝Ａｅ＝Ａ·ε时，函 数有唯一极大值（略）。举不胜举，各学科领域几乎都存在ε的问题。