质量互变规律的逻辑延伸

选自《运动论》98页
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质量互变规律
事物由内部矛盾引起的发展，是通过由量变到质变和由质变到
量变的转化过程以及通过量变和质变的循环往复不断产生新质的辩证运动来实
现的。
（一）量变到质变的转化
事物的变化首先从量变开始，当事物及其特性在数量上的增加或
减少达到一定的界限时，量变就转化为质变，使事物发生根本性质的变化，旧
质事物便变成新质事物。
事物的量变是由事物的内部矛盾引起的，是矛盾的双方在量上的此消彼长的过
程。在事物的矛盾运动中，矛盾一方的力量逐步由小变大，矛盾另一方的力量
则由大变小，这两种相反趋向的力量对比变化到一定限度，事物就发生质变。  
一定形式的量变引起的是它相对应的质变。
质变的实质是新质事物对旧质事物的扬弃，是矛盾的转化，因而是有条件的。
质变或矛盾转化的条件是在事物量变阶段逐渐积累、准备起来的。量变为质变
准备了条件，质变则是量变的必然结果。质变是量变基础上的飞跃，事物的根
本性质由低级发展到高极。
（二）质变到量变的转化
事物在量变的基础上一旦发生质变以后，新质事物又在自身的基
础上开始了新的量变过程。即使从旧事物中保存下来的量也必然纳入新事物的发
展过程，具有新质所规定的量的特征。
由量变转化为质变，由质变转化为量变，是两个相对独立而又相互联结、相互
作用的过程。参见：中国大百科全书，哲学卷。
对立统一规律是唯物辩证法全部规律和范畴的实质。质量互变
规律所揭示的量
和质、量变和质变的关系实质上是对立统一  关系，量变和质变这两种状态的运
动及其相互交替都是由事物内部矛盾双方对立统一的运动引起的。
量变状态，是对立双方保持相互同一的状态，矛盾运动处于相对稳定的状态；
质变状态，是对立双方的同一处于瓦解中的状态，矛盾运动处于显著变动的状
态。
显然，无论量变到质变，还是质变到量变都是矛盾对立面斗争的绝对性与矛盾
对立面同一的相对性的辩证关系引起的。
我们在上节“矛盾对立统一规律”向逻辑的数学形式转化的八个方面已经做到
，斗争的绝对性，转化为运动的绝对性；  同一的相对性，转化为相对运动的
量变过程。
转化集中表现在“零”的概念是辩证法对立统一规律的核心。由此，认识到一
个数学表达式表示成两个系统（封闭与开放）的具体形式，这个“关节”既是
哲学的又是逻辑的，因为我们的“立场”选择不同，取之不同出现的。恰好
，因人的立场问题是思维对客观反映认识的问题，其规律性当然是逻辑问题。
在“数学基础”的研究中，最后都将问题集中在“数学是先验的”问题上，这
是“定理”的源头发生的问题，若不承认“数学是先验的”，建立定理时的“
公理”将不存在，数学出现悖论。承认这些“公理”，有时也出现悖论。乌呼
数学，何以“科学的模范”呢？
在本节中谈数学哲学（基础）很恰当，它们由变量与量变引起。可以看到辩
证法世界观、科学观（也是世界观）中量变的地位、性质与发展。当然，辩
证法毕竟是哲学，不能代替数学，所以产生“运动论”。将辩证法思想去观察数
学基础，也就是辩证逻辑处理过程。
在辩证法中，先交待出世界本原的属性，
这种属性无需证明。“运动是绝对的”就是世界（宇宙）的基础属性。不但我
们，谁也给不出证明。于是察觉到“证明”的属性是拟人的，是逆自然的一
种“强制”，价值在于人们对世界本质属性的索定与自然的一致程度。一致，
则必要发展的证明；不一致，无从谈起。假如“运动是绝对的”也要由“运动
的绝对性”产生的思维来证明，这本身就是一个特大的悖论。若以“运动的  
绝对性”来证明“运动的绝对性”又何必？
如果非要“证明”，最好的“证明”是公理、原理，结论能够自圆。所谓“自
圆”是指开始的公理要来自世界（大自然），结论与世界（大自然）吻合。
是否“自圆”的根本，在于人对于世界认识是否正确，还是世界观问题。开始
（如取之的公理）你就搞错了，难道结论是对的？
就数学本身而言，已经局限于矛盾对立统一律的同一之
中，现今的数学关系只是矛盾同一性中相对关系的量变阶段，蕴含在绝对运动
中的某个相对运动，无穷多个相对运动叫做绝对运动，也称做运动的绝对性。
辩证世界观的一项重要内容是“物质和运动不可分”，“运动是物质存在的方式
”，“无论何时何地，都没有也不可能有没有运动的物质。”恩格斯，
反社林论，马克斯，恩格斯选集，第三卷，第９８～９９页。
运动的某个相对阶段构成物质，物质的根本属性是运动。
太阳系内九大行星只占据一小部分位置，绝大部分都是空间，其中为各种宇宙
射线充填着；原子系内围绕原子核旋转的电子也只占据与太阳系行星成相同比
例的位置，绝大部分仍是空间；乃至无穷小粒子内部仍然如此，这种状态，好
象宇宙之内大到天体、星云，小到粒子之内全是空的，无物存在，是这样的吗？
但毕竟这是人类科学发展的一个硕果，是人类对物质认识过程的加深。
原来，物质正是运动构造的，某个运动阶段表现出这个阶段的特殊性质对于人
类的感知，称谓一个名称，统称为物质。正是“运动是物质存在的方式”之谓
，没了运动也就没了物质。如同恩格斯说的，“无论何时何地”（任何时间、
空间）都没有也不可能有没有运动的物质”。
辩证自然观中的这种物质观，纠正了一种错觉，以为物质或某种存在都是以人
的感知中的形体存在或感官存在才是物质。事实已知了，从无穷小粒子开始的
各种运动阶段，都是物质的表现，但各种运动阶段的具体形式是不同的，物质
的表现也不同，所以追踪物质的终极，只有运动，而运
动则是世界的根本属性，自然也就是物质的根本属性，从这个意义上说，，世
界是物质的世界。
在逻辑形式的数学里，运动与物质的关系，完全是辩证法的自然观、物质观，
尽管它是自发产生的。
在一对相对运动关系里的两种物质或事件总可以表示成
ｙ＝ｙ（ｕ）
但自变量ｕ并不孤立，也有来源，成为函数
ｕ＝ｕ（ｖ）
表示成ｖ转化而来。同样，ｖ也是函数，
ｖ＝ｖ（ｗ）
表为ｗ转化而来。ｗ也有来源，是函数
ｗ＝ｗ（ｘ）如果我们只在这一组相对运动中发现四对相对关系。数学允许将ｕ

、ｖ、ｗ称做中间函数，表示成
ｙ＝ｙ（ｕ）
＝ｙ｛ｕ（ｖ）｝
＝ｙ〔ｕ｛ｖ（ｗ）｝〕
＝ｙ〔ｕ｛ｖ（ｗ〔ｘ〕）｝〕
又可表示成
ｙ＝ｆ（ｘ）
我们看到，数学的运动形式ｆ（）代替了ｙ〔ｕ｛ｖ（ｗ〔ｘ〕）｝〕，即

ｆ（）＝ｙ〔ｕ｛ｖ（ｗ〔〕）｝〕

其中的ｕ、ｖ、ｗ以ｙ〔〕的运动方式表达，并包容于一个较大的相对量变关
系
ｙ＝ｆ（ｘ）
之中，正所谓“运动是物质存在的方式”，一个数学运算（运动）的关系代替
了包括ｕ、ｖ、ｗ、各种物质变动中的量。
反之，一个函数关系
ｙ＝ｆ（ｘ）
也可以看成由数个相对运动组成的整体的运动，并分解为数个相对关系表示。
正所谓“运动的相对阶段构成物质”。由于量变阶段是矛盾的同
一性决定的，是一种矛盾的相对稳定，转化未发生质变的飞跃，因
此显示某两物质存在处于量变过程。尚未改变这种物质为它种物质的存在状态
。
因为“运动是物质的根本属性”概念，运动是绝对的存在，所以
运动并不所属物质。正如斗争是绝对的，同一是相对的（矛盾对立
统一），斗争并不所属同一。反而要明确的是同一表现
的相对性（矛盾）量变阶段乃是斗争表现的绝对性，包括全部量变质变，再质
变量变无限发展中的一部分。运动与物质的关系和矛盾中斗争与同一的关系是
完全对应着的。运动的相对阶段表现出物质特性，同时物质又以物质存在的量变
质变体现运动，物质是运动的具体，运动是物质的抽象，这种关系正是斗争与
同一的关系。
这一概念纠正了一种以为物质是主体，运动属于物质的运动的错误认识。其实
运动是物质存在方式，是物质的根本属性，物质是运动的阶段表现。
这个概念表现在数学逻辑形式中是很容易理解的：
“运动是物质的存在方式”
数学形式的运动即
ｆ（）等等
它在量变过程中，是从一方向另一方运动的。若开始的原量为ｘ，当ｘ运动到ｗ
（ｘ）阶段时，表现成一种事物或物质形式，对于人有了感知，则叫做
ｗ＝ｗ（ｘ）
ｘ并未停止在ｗ阶段，再继续运动，当运动到ｖ〔ｗ（ｘ）〕阶段时，表现成
另一层次的事物或物质形式，对于人也有了感知，则叫做
ｖ＝ｖ〔ｗ（ｘ）〕
ｘ仍在继续运动，当运动到ｕ｛ｖ〔ｗ（ｘ）〕｝时，对于人又有了感知，成
为另一层次的事物或物质形式，则叫做
ｕ＝ｕ｛ｖ〔ｗ（ｘ）〕｝
ｘ还在继续运动，并运动到ｙ〔ｕ｛ｖ（ｗ〔ｘ〕）｝〕阶段，又发生对于人
的感知，成为另一种事物或物质形式，则叫做
ｙ＝ｙ〔ｕ｛ｖ（ｗ〔ｘ〕）｝〕
由于这个表示的运动太繁杂，我们可以用统一的符号表示成
ｙ＝ｆ（ｘ）
同样，
“物质是运动的阶段表现”
将“运动是物质的存在方式”中数学形式的各个阶段表现，反方向理解即是。
不必重复。
宇宙或世界中的物质与事物运动，并未被人类全部了解和认识，当然这些未被
认识的物质、事物就没有人类给予的称呼与定名，我们把已经被人类了解与认
识的物质、事物称作“人有了感知”感知后才能定名。如：
ｌｉｍΔｘ→０

ΔｙΔｘ＝ｄｙｄ
ｘ

称作导数（对于ｘ），但这是逻辑形式的总称，它在具体学科中，如物理学里
，具有“速度”概念；在几何学里，具有“曲线之切线的斜率”概念。导数到处存在
，就看具体两相对事物、物质ｙ与ｘ代表哪一学科领域的运动。
“物质是运动的阶段表现“思想是辩证法思想给予“运动论”的一项新发展，
它产生于斗争的绝对存在与同一的相对存在（矛盾对立统一律），在数学逻辑
形式里对应有运动的绝对存在与量变过程中物质（事物）的相对存在。它们的数
学逻辑形式可以表为
ｙ←＝ｆ（ｘ→）
ｙ←表示取得ｙ运动并未完结，ｙ是继续运动的自变
量，相对于ｘ物质、事物的终端。ｘ→表示ｘ并非
运动的开端，ｘ是接续前期相对运动的函数，相对ｙ物质、事物的始端。
函数ｙ只相对于ｘ，自变量只相对于ｙ时有
ｙ＝ｆ（ｘ）
这就是我们在“量质互变定律”必须首先交待的函数关系之来历。
今日科学发展指明，实体物质世界正是如此的，无限分割物质，总有更小的粒
子存在；无穷天体也由粒子组成。各级物质均不间断地无止境地运动着。
因此，随之而来的就是第二个大问题：
如果“物质是运动的阶段的表现”，那么，世界的开端就是“有”的不是“无”的。
对它的逻辑形式回答是：
绝对的量的“无”是不存在的，有的只是相对的量的无。因为世界没有“零”
点，有的都是两个相对物质（事物）运动的相对零点。这就是
ｙ－ｆ（ｘ）＝０
它体现成相对事物ｙ与ｘ的开放系统。
对应的也有相对的量的“有”，这就是
ｙｆ（ｘ）＝１
它体现成相对事物ｙ与ｘ的封闭系统。
“０”与“１”在两种形式的相对运动中产生；“０”与“１”是数学的基础
；“０”与“１”是“量变质变规律”的中心内容。
由这里我们看到一个基本事实，这就是
“数是由物质或事物的相对运动产生的”。在一些书籍中，作者说，数是数（
ｓｈ）出来的。显然这种认识未能从自然，社会的相对事物或物质
间的运动过程提取根据。

绝对运动意义下的“零”不是“无”。“绝对运动中的数学零，是矛盾对立统一
体，对立两事物双方连续不断向对立面转换运动，旧事物向新事物由量的过渡
到质的变更之标志”。
由于运动的绝对性质，对于旧事物，零的含意是量的耗尽，对于新事物是量的
开端；但因为绝对运动是由相对运动组成，对于该具体的相对运动中，零的含
意又是旧事物的质的终了，是新事物的质的开始。
以往数学里零只是无的概念，现在知道，这是仅指相对运动产生的。
“零”的概念产生于绝对运动中只是新旧事物的变更标志，产生于相对运动中
确是“无”表示相对量的开始或终了。这些我们已在“矛盾对立统一规律”一
节中阐明过了。
人类的计量是从“１”起始的，首先接受并使用的是加法计数方法，或称为惯
性计数法、堆垒法。积累可以得“２”、“３”……形成自然数。因为这种方
法与在几何学中射线上，以端点为零点定距离截取相等线段方法完全一致，数点与
几何点也完全对应，经过学者的研究，确定出一种“数轴”的几何形象，来记
载所有的数（不包括虚数）。
为“量变质变规律”的需要，追究“１”、“数轴”概念，“无究大（∞）”，
“无穷小“以及上文谈过的“零”概念，它们的来历关系、必不可少。
这种“数轴”上的“１”是人为的，随意的。一旦确定下来，其它的所有数都
以这个“１”为标尺固定下来。尽管“数轴”的制造者未加特殊注明，“数轴
”的产生仍是基于下述四种概念或称为“隐含前提”：
（１）未加树立地树立一个零点。
这个零的内容、意义、来历概念都是不明确的。
当人们尚不明确绝对零、相对零时，在射线上设置一个零点，首先是为了建立
“１”，也就是为了建立数。还有一项意义是建立一个与观察者的对立（点）。所
谓“观察者”就是了解、使用与观察以数轴计量的人，首先是针对人的，再严
格些是针对思维反映的。正所谓“参考系”的确立。
这是在说，当人们“确立”坐标原点时，已经承认了自己的立场是处于所“确
立”的座标之外的参考系。一旦“确立”（坐标原点），就自动地排他在外。
（２）确立定量“１”。
这是说〔０，１〕是封闭区间，且“１”的长短、大小随意。
（３）因为“１”确立，然后按加法原则产生“自然数序列”。这种加法原则
，是在“１”之后，总是加“１”完成序列的。
（４）数的增长限定在无限直线运动方向。
在我们对于数学了解的概念中，数学应当是世界的模型，科学的模范。加深这
种理解，可以说，数学的形式逻辑是产生于世界的。
但反之，世界并不唯形式逻辑的，而是辩证逻辑关系的数学形式。一开始，“
数轴”就存在着与辩证逻辑不谐同的步伐。表现在世界的绝对运动中的相对运
动尤为突出。“数轴”实际上就是几何化的“数制”，是数学发展依据的基础
，容不得丝毫疏漏。在数学自身的发展进程中，依靠加法与惯性方向的数轴概
念，悖论层出不穷。
道理很简单，所谓“自圆”是也，开始的公理来自世界，结论与世界吻合。
加法原则树立的数轴概念与
ｙ－ｆ（ｘ）＝０
相吻合（广义相加）。
因此还有一种除法原则
ｙｆ（ｘ）＝１
可以简化关系取代
ｙｘ＝１
在“矛盾对立统一律”中已经提到，这是旋转变换当θ＝π／４时的情形。同
样，可以这个π／４为始点，继续旋转，第二个π／４角即数２，连续旋转，
出现３，４，……８，刚好一个周角（２π）。形成一个八进位
的，与“数轴”对应的“数旋”。“数旋”是除法原则产生出来的，
或旋转法则产生的。
对比“数轴”上的数与“数旋”上的数，两种数概念显然不同：
加法原则产生的数是定向等加运动中数轴上的线空间“段”的计数，“段”的
无穷大，这是相对静止的量（线段）；除法原则产生的数是旋转运动中以原量
ｘ的减少转换成的弧长，这个弧，并未事先被指定在某方位上，除法原则表现
的无穷大就是不停的旋转运动而已。弧，是由于ｘ转
换成ｙ值在
ｙｘ＝１ｘ２

１

守恒条件下的轨迹。
将数的概念与圆弧对应，形成“数旋”，其中出现的无穷大表现为不停的旋转
运动较之“数轴”的无穷大与大自然、社会事物贴切了。但这是绝对运动，或运
动表现的绝对性。
第一个π／４弧与第二个π／４弧的几何长度是相同的。但
当  ０≤θ≤π／４  时
０≤ｙｘ≤１
当  π／４≤θ≤π／２  时
１≤ｙｘ≤＋∞
显然０≤θ≤π／４内与π／４≤θ≤π／２内
的元素个数（基数）是相等的。不必象康托尔那样，采用：“一一对应原理”的
办法。因为它们都是旋转运动分别各自产生的。
这时，我们可以将康托尔的Ａ与Ｂ等势符号＝
改记为Ａ＝Ｂ
可以得出，〔１，＋∞）＝〔０，１〕
区间〔１，＋∞）内的元素与区间〔０，１〕的元素相等，或称等势，基数相
等。
注意，其中的点“１”是公共所有的。
“点１∈〔０，１〕，点１也∈〔１，＋∞）”
的中心内容是两个等势区间是连续的。
显然，在圆上任何点都是连续的，因为圆函数是连续的，点１属于同一个函数
关系。
但两条不同斜率的直线相交的交点可以属于两个不同的函数，因此，它是重叠
，不是连续点。
其实，最为基本的公理原则只不过如此，其它均可衍生成派生，不必赘述。
在这种“数旋”中，我们看到“数”是比出来的，而不是加出来的。其次，也
看到从“１”到“＋∞”的比值确是处在一个封闭的弧内。当θ＝π／２时，
比值ｙ／ｘ＝＋∞，因此，必然与〔０，１〕区间的基数（势）相等。
所以，能够将从１到∞区间的符号用全封闭括号表示
Ａ＝〔０，１〕
Ｂ＝〔１，＋∞〕
Ａ＝Ｂ
角θ可以表为２Ｋπ，可以有
ｙｘ＝ｔａｎ（２ｋ
π）
表示。
“数旋”里，Ａ＝Ｂ具有绝对意义：
（１）绝对无穷大，是弧上的“１”（每π／４角出现一个）按加法概念，运
动永无休止。
也可以反说，永无休止的旋转运动即加法概念的无穷大。从这里可以明确使人
了解到绝对无穷大不是具体的数含意，而是绝对运动本身的意义。
（２）相对无穷大，仅仅是量ｙ与量ｘ之比，相对无穷大的“所在基数”与
数１所在基数完全对应。π／２时，是相对无穷大的终极位置。
Ｂ＝〔１，＋∞〕
中的＋∞即相对无穷大。
若Ａ＝〔０，１〕
则〔０，１〕＝〔１，＋∞〕
称作绝对等势。因此，相对无穷大与“１”等势。我们
称，相对无穷大与“１”对称。
（３）绝对无穷大由相对无穷大组成。
这句话需如下理解，即永无休止的运动（绝对无穷大）是由数“１”（相对无
穷大）组成的。
恰好是辩证法“相对运动本身是绝对的”。若把“斗争是绝对的”这个社会科
学术语应用于自然科学，理解为“运动是绝对的”,“同一是相对的”直接理
解为“量变是相对的”，那么，“矛盾对立统一规律”的内容则是“矛盾对立统
一体，对立两事物双方在连续不断向对立面转换运动中，旧事物向新事物由量
的过渡到质的变更”。
“质的变更的标志”即我们已经树立的具有绝对运动意义的数学零。（不具相
对意义）
（４）相对无穷大，具有原量（自变量）的完结与新量（因变量、函数）
的完全之意义，因为
ｙｘ＝＋∞
又因为，相对无穷大与１等势，所以“１”也具有相对无穷大意义，原量的完
结与新量的完全。
（５）在绝对运动中，绝对运动意义下，“零”是质的变更之标志，不光标
志一个新事物的开端，同时又是旧事物的消亡。因此，在绝对运动意义的“零
”点上也具有旧事物（原量）完结的相对无穷大意义，或说，原量的相对无穷
大与完结正是新量的相对零与开端。
上述五点的关键是要树立并区分绝对运动与相对运动；绝对无穷大与相对无穷
大；相对零与绝对零；“１”具有相对无穷大意义概念。
相对零才是数学中量的无，已经应用的概念。
在本书的“单值全息律”一文中，是将绝对无穷大与“１”具有的相对无穷大
意义对比说的，“１确定时，无穷大不能确定”，“无穷大确定时，１不能
确定。”
绝对无穷大是永无休止的旋转，是无界无穷大；相对无穷大是旋转中ｙ与ｘ的
比达到９０°时的值，是有界无穷大；
绝对无穷大就是运动本身，是世界的本质属性；相对无穷大与“１”等势，基
数相等。
绝对无穷大由相对无穷大组成，叫做相对运动本身是绝对的。
绝对无穷大（运动）以相对无穷大（运动）
表现世界具体物间的量变过程。一个个无休止的相对运动（直到无穷大）连续
起来，形成无始无终的绝对运动，直到无穷大（绝对）。
两个相对运动衔接，当第一个相对运动达到相对无穷大时，宣告了第一个相对
运动中的原量完结，第一个相对运动中的新量完全，同时也宣告了第二个相对
运动中的原量开端。继续第二个相对运动，重复上述过程，有第三个相对运动
，第四个相对运动乃至无穷，构成绝对运动，趋向绝对运动的无穷大。
这种第一个相对运动、第二个相对运动、第三、第四、……因为都是绝对运动
中的组成部分，而绝对运动无始无终，所以排列中的第一相对运动、第二、第
三……都是人为的排列次序，在大自然中没有“第一推
动”也没有“最后休止”。这是世界的本质属性，即运动是绝对的，绝对运动
属性。
由于运动的绝对性，使相对运动（绝对运动中）不存在第一、第二等等的排列
次序，因此，相对运动的起点（零点）也成为任意的，或更准确地说，相对运
动的起点（零位置）是相对的。使之“数旋”上的“１”与“∞”也成为相对
的。