否定之否定规律的逻辑延伸
选自《运动论》111页
下载否定之否定规律 否定之否定规律表明，事物自身发展的整个过程是由肯定、否定 和否定之否定诸环节构成的。其中否定之否定是过程的核心，是事物自身矛盾 运动的结果，矛盾的解决形式。 经过否定之否定的过程，原来的概念获得了新的发展。由于这个过程开端的概 念和最后的概念是重合的，因此黑格尔把否定之否定比喻为圆圈式的发展。在 圆圈式的运动中，每一次否定之否定，既是对原来概念的说明和返回，又是新 的发展的起点，即下一个否定之否定过程的开端。黑格尔的“绝对精神”从 逻辑阶段到自然阶段到精神阶段，以及每一个阶段中的一系列小阶段，都是由 肯定（正）否定（反）、否定之否定（合）组成的，成为由一个大圆圈和许多 小圆圈所构成的体系。 黑格尔的否定之否定的理论是建立在唯心主义基础上的 不自觉地反映了客观 事物的运动和联系，成为马克思主义哲学关于否定之否定规律的直接思想来源 。马克思主义哲学对黑格尔的否定之否规律进行了革命的改造，使这一规律 获得了唯物主义的科学内容。马克思主义哲学的否定之否定规律，不是从概念 、思维中逻辑地推演出来的，而是从客观事物和现实的发展中提取出来的，是 对自然界，社会历史中事物发展普遍规律的反映。 周期性的螺旋式发展，是否定之否定规律的根本特点，也是区别于唯物辩证法 其他规律的主要之点。事物的发展是通过它自身 的辩证否定实现的，即事物 自身发展中否定方面对肯定方面的扬弃，事物改变了原来的存在形式和性质，由 某物变成他物。但是，在这个否定阶段中，事物的自身发展还未完成。由于内 在矛盾，否定某物的他物也必然被否定，否定者又被否定，即否定之否定，此 时事物的发展经过两次辩证否定，矛盾双方才得以充分发展，在新的基础上达 到肯定和否定的统一。事物存在即是一种肯定，经过否定，否定之否定即新的 肯定，仿佛原来事 物的复归。但不是简单重复，而是更高，更丰富的复归，形成一个周期性的螺 旋式发展，构成发展过程的整体。 否定之否定既是结果又是开端。事物的矛 盾是绝对的，发展是无限的，否定之否定永远不会达到一个最后的终点。 对立统一规律、质量互变规律、否定之否定 规律都是贯穿事物发展过程的普遍规律。但前两个规律是从事物发展的阶 段上揭示事物内部发展的动力和状态， 否定之否定规律则从最一般的形式总括 事物矛盾运动过程的全貌，为人们把握事物由矛盾引起的发展的辩证过程 提供了全面的综合画面。参见 中国大百科全书，否定之否定条目 。 就辩证逻辑而言，否定之否定规律明确指出了思维与事物矛盾发 展的形式是螺旋扩大上升的。这种发展形式不是简单的循环，更不是一去不复 返的直线运动。正如唯心主义辩证法的发明人黑格尔在他 《小逻辑》导言１ ５里对哲学给以的著名“圆圈理论”的概括，否定之否定规律则是这一圆圈理 论的扩展与延伸。 那里，他指出“哲学的每一部分都是一个哲学全体，一个自身完整的圆圈。但 哲学的理念在每一部分里只表达出一个特殊的规定性或因素。每个单一的圆圈 ，因它自身也是整体，就要打破它的特殊因素所给它的限制，从而建立一个较 大的圆圈。因此全体便有如许多圆圈所构成的大圆圈。这里面每一圆圈都是一 个必然的环节，这些特殊因素的体系构成了整个理念，理念也同样表现在每一 个别环节之中”。 这段话的意思是很明确的，但大哲学家的语言与文章也有语病。“哲学的每一部 分都是一个哲学全体”，部分是全体的事情在罗素悖论中见过。同一事物（哲 学）的部分是全体的部分，其全体是许多部分组成的全体。 既便有语病，我们还是能够接受哲学家所指的哲学部分与哲学全体的部分和全 体是什么意思。只从逻辑的思维发展过程角度， 无非是说“大圈套小圈”的发展上去。 圆圈理论是否定之否定规律的逻辑形式，这是理念的定性的概念概括，恰好也构成 一个圆圈，是个“哲学全体”了。 否定之否定规律给定了矛盾对立统一规律、质量互变规律以思维方法的与逻辑 形式的概括；将矛盾对立统一律与质量互变律的灵魂贯通为一体，然后又服饰 加冕成形。 如果说，矛盾对立统一律是“质”，则质量互变律是“量”，那么否定之否定 律就是“形”。 我们之所以能够得到“辩证逻辑的数学形式”，就在于否定之否定律已经将对 立统一规律成了形，并且获得了第一个“辩证逻辑数学模型”（简称模型）。 它是“矛盾对立统一规律”、“质量互变规律”与“否定之否定规律”（简称 三大规律）融会贯通，穷理之熟而后所致。 其实，我们在“质量互变规律”一节里已经取得并看到了一个“圆圈”的出现 。但它不是对立统一规律概念的哲学型，而是一种单纯的数学。有如正命题与 逆命题的关系，有时正命题成立，逆命题也成立，但并不是所有的正命题成立 ，逆命题都成立！ 否定之否定规律的建立正是数学模型以形式逻辑表现的根据。这是哲学— —逻辑—— 数学的关系，是内容、过程到形式的关系。是否定之否定圆圈的一个极为重要 的关键点，指的是矛盾对立统一的发展形式，具体些，指的是绝对运动下的圆 圈，因此，这个圆圈都是相对运动组成的。更准确地说，绝对运动中的相对运动 ，任何一个位置的起点都是相对零点，任何一个位置的终点也都是相对运动的 终点。绝对运动本身已经明确没有起点和终点。 零点的问题，是数学模型的致命问题。由于相对零都是拟人的，有人的随意性 质，在圆圈上的“１”由来于 ｙｘ＝１ 表示的π／４ 角之起始位置θ＝０即这个相对零点的位置。 如果我们在这个π／４弧的终点处，再作一个π／４角（弧），于是出现 第二个“１”。两段弧的总和为 π４＋π４＝π２ 两个“１”之和等于“２”。 一周的弧长是２π，有八个“１”，计和等于“８”。 显见，若我们以第一个θ＝０为起点计之，恰好θ＝π／２时， ｙｘ＋∞ 若我们不以第一个θ＝０为起点计，而是以第一个π／４弧处为起点，作第二 个π／４弧，就会出现第二个“１”，而不是“＋∞”。 这就是“相对零的随意性”。 “数轴”概念就是任取“１”的长度，然后加１，加１永远加１形成的几何概念 。我们的“数旋”则是首先根据函数关系必然有 ｙｆ（ｘ）＝１ 简作最简函数形式时，是 ｙｘ＝１ 本身已经指明，这个“１”是处在圆的π／４弧处。因此，我们可以叫“π／ ４弧的长度为１”（仿效数轴的１来源），然后再在π／４弧处树立第二个数 旋的１，即再旋转π／４弧长，如此继续下去，形成“数旋”概念。 重要的是，若取第一次π／４弧的起点为零,第二次π／４的终点为２时，就会 出现 ｙｘ＋∞ 若仍然只取“１”不计两个“１”的加法结果，那么第 一次π／４的终点就是第二次π／４的始点，第二次π／４的终点处仍是个“ １”。 显著的差别在于是否计较两次“１”相加。虽然还是同一 段弧（第二次的π／４弧）的终点处，由于零的位置不同，不予积累（不相加 ）与积累（两次增弧π／４长用一个零点计）结果决然不同。 但是，我们因为不予积累，只是连续取“１”，见到一个重要结果： “相对无穷大与１绝对等势”。 〔０，１〕＝〔１，＋∞〕 这是我们已经在“质量互变规律”的数学逻辑形式中取得的。 “绝对等势”即基数绝对相等，这是不证自明的公理，因为相对无穷大与“１ ”的概念相同，两段弧长都是π／４，只是零点在何处引起的差异，而这种相 对零的取定全由人的随意性决定的。 取得“相对无穷大与１绝对等势”的作用何在？ 这是个逻辑过程，是辩证逻辑自身的要求，是辩证思维方法的规律指定的环节 。 因为至此，我们还只停留在相对运动与相对运动的重复阶段。辩证法原理的首 要规律是“矛盾对立统一”中斗争的绝对存在，转化在自然关系里是以运动的 绝对存在呈现的，所以要求我们寻求出以相对运动体现绝对运动的辩证逻辑的 数学形式，才能构成“哲学理念的全体”。 我们已经知道，逻辑问题是思维规律问题，其中很重要的根源在于世界观，说 到底也是方法。对世界如何认识，需要结论对于世界的解释是否正确，即常说 的实践证明。 当我们取得“相对无穷大与１绝对等势”之后，我们就改变了对于“无穷大” 的认识，原来，“无穷大”对于人类的表现，在人的思维反映里，也仅仅是“ 相对的无穷大”，不是也不可能出现“绝对无穷大”。 “相对无穷大”概念，已经蕴含着“原量的完结，新量的完全”。但运动并未 完结，绝对运动要求仍有第二阶段的相对运动，并且是连续的。因此，当“新 量完全”之时，已经孕育第二阶段的相对运动“新量的开始”。第二阶段的相 对运动中新量是完全不同于第一阶段的原量、新量的。 因此，圆圈等于一个周角为２π，其中有８个π／４，即８个不同的ｙ／ｘ。 即必须 ｙｘ＝１这是首先的肯定阶段。 无疑，否定之否定规律的第二阶段是否定阶段，体现在圆圈上，应当是半圈之 运动。因为还必须有半圈运动是第三阶段的否定之否定运动才能回归到原来的 肯定，即 ｙｕ·ｕｖ·ｖｗ·ｗｘ＝１ 是四个相对运动表现的半圆，每个相对运动（除式）π／４角。但必须保持 原来肯定阶段中的定量关系。显见，这里的ｕ、ｖ、ｗ都可以对约掉（除法规 则）。 于是，轻易可知，第三阶段的否定之否定运动表现在后半圈上，仍是四个除式 连乘，并中间函数（量）应当对消（约）掉。 又因为我们已经知道连续的旋转运动中，每两个π／４里的量存在有“对称” 现象。参看本书质量互变规律一节。在数学关系中， 对称也是一种普遍存在规律，为取得与数学对称一致，把后半圈中的４个除式 表为： ｘｗ·ｗｖ·ｖｕ·ｕｙ＝１ 其中的ｗ、ｖ、ｕ仍然可以对约掉。 因此，有最后结果，否定之否定等于原来的肯定。请注意，这里，我们取一个 “封闭的圆圈”，实际上，应是螺旋扩大上升规律。为了第一次取得理论的数 学形式，以及实践证明，我们暂时这样做了，但必须明确否定之否定并非回到 原位上，而是更为新事物的出现才正确。但，我们在圆圈内取的ｕ、ｖ、ｗ已 经表明新事物，是原来ｙ／ｘ中所没有的，可以明确原理的中心，并未曲意。 表为： ｙｕ·ｕｖ·ｖｗ·ｗｘｘｗ·ｗｖ·ｖｕ· ｕｙ＝１ ｙｘ＝ｙｘ 可以称作，“否定之否定的数学形式”。 这一结果，现在看来太轻易些了，，其实取得它，是经过数学推导的严格手续 过程的。当数学推导结果出现时,笔者实感恐慌，万没想到“矛盾对立统一律 ”竟然如此深奥，以致所差者，仅是逻辑符号在否定之否定的圆圈里的安排 。另外也奇怪，在我这里，不是先产生这个“否定之否定的数学形式”，而是 先取得数学结果，然后反推证到逻辑，再到哲学的。 这是一种猜测与实证共进的结果，对立统一律的概念已经形成于头脑之中，带着 这种意识，取得一种叫做“超超越函数”的数，正是否定之否定数学形式的另一 种形态。在无数验算，并取得物理学实践后认定下来的。 这一途径看来有些本末倒置，但也是一种科学研究的必然之路，很多数学问题 与其它学科的理论问题往往也是先猜后证的。 将“否定之否定的数学形式”应用于物理学实践，取得一个“时间、空间、物 质，能量大循环”，它既是“图像”，又是模型。在这里有必要演示出来，以 为实践和证明。 引入物理学符号 Ｅ能量； ｔ时间； Ｖ空间； ｍ质量。 肯定阶段是 ＥＥ＝１， 否定阶段是 ｔＥ·Ｖｔ·ｍＶ·Ｅｍ＝１， 否定之否定阶段是 ｍＥ·Ｖｍ·ｔＶ·Ｅｔ＝１， 整体的肯定是 ｔＥ·Ｖｔ ·ｍＶ· Ｅｍ ｍＥ· Ｖｍ·ｔＶ· Ｅｔ＝１， （２）（３）（４） （５）（６）（７）（８）（１） 并给各相对运动以如上编号。 图５ 按己知规律，将上面８个相对运动的除式分布在一周之内，因此一周被分为８ 个π／４角，参阅本书运动论的物理学部分，图６时、空、质、能 大循环图。 每一种符号占有两半边对称各一个π／４角，在这里，称每个π／４角为一个 “象限”，每个相对运动的除式，称为“转换子”，并规定以“粒子说”原则 观点对待“时空质能大循环”时，可以将逆时针运动方向定为正向运动。（如图 箭头方向） “粒子”不停地在“大循环”中旋转运动（绝对运动）． “粒子”运动到哪个象限时，因各象限已为Ｅ、ｔ、Ｖ、ｍ定了名（它们各占 有对称的两个象限，因而定了名），就称粒子为该象限的“定名子”，如能量 子，时间子、空间子、质量子。 当“粒子”跨越象限时，“粒子”的名称则由前个象限的定名子变为后个象限 的定名子，如第六象限为质量子ｍ，第七象限为空间子，当粒子运动到第六象限 时，我们就称粒子为质量子，粒子继续运动并跨越到第七象限里时，此时应称 粒子为空间子，此为类推。 上为粒子的绝对运动状态。 什么是大循环的相对运动呢？ 当粒子连续跨越三个象限时（任意的三个连续象限）对于我们人类 有作用，则可以被看成为一种相对静止；对 于其它相对物有作用，也可以看成为另一种相对静止。 相对静止，即有零数出现之时。 零数出现时，即有等式出现之时。 粒子连续跨越三个象限，有两个除式，因此可建立绝对运动中的相对运动等式 。 例１．“万有引力” 设粒子连续运动在第２、第３、第４象限，取其相对运动等式，按 运动方向等式从左向右写 Ｖｔ＝ｍＶ Ｖ是全空间符号。若面积为二维空间，则直线应为一维空间，后者也常称为线 性空间，诸多物理学关系均以线性空间为计量产生的，如，国际计量标准，Ｃ ＧＳ标准等都是。 我们也改记Ｖ为线性空间Ｒ（距离）则 Ｒｔ＝ｍＲ —（１） 称这种“大循环”构架的原始状态相对运动等式为“元基方程式。” 若考虑加入粒子的运动，则应给“元基方程式”增添内容，这个内容是物理的 （因是粒子的运动），有 ＦＦ·Ｒｔ＝ｍＲ——（１′） Ｆ是物理学力的符号。 此时，已经不是绝对运动，而是绝对运动中的某个相对运动阶段，因此已是惯 性运动即伽里略·牛顿物理体系的惯性体系。 Ｆ／Ｆ乘在等式的左边，是由粒子的运动方向决定的。粒子首先从第２象限经 过第三象限到达第四象限的。牛顿体系的力学关系有 Ｆ＝ｍ·ａａ为加速度。 Ｆ·ｔ＝ｍ·ｖ冲量等于动量。 ｖ是速度。 Ｅ＝Ｆ·Ｒ能量等于力乘距离。 最后（１’）式有 Ｆ＝ｍ（Ｆ·ｔ）Ｒ２ ＝ｍ（ｍｖ）Ｒ２ 将移项过右边来的ｍ记为ｍ２，原右边的ｍ记为ｍ１，其中ｖ＝Ｒ／ｔ Ｆ＝ｍ１·ｍ２Ｒ２·（ Ｒｔ）——（Ｆ３） 这正是牛顿的“万有引力公式”，其中的 Ｒｔ＝Ｇ 也是引力系数参看本书太阳系动量守恒原理，Ｒ２＝Ｔ２动量守恒的时空表达式。 从“时空质能大循环”中取出“万有引力”来给读者展示，是笔者有意安排的 。因为“万有引力”已为世人公认，并正在起作用的物理学力，它无时无刻 不存在于我们之间，乃宇宙的客观存在，宇宙的运动规律之一。 因此，证明它存在于“时、空、质、能大循环”中才具有说服力，才能够证明 “时、空、质、能大循环”的存在，才能够证明“否定之否定的数学形式”的 存在。 事已至此，读者自然会联想到，“万有引力”只是“大循环”中的两个转换子 的相对运动，余下的６个转换子间必然也有类似的相对运动产生的力。正是如 此的。 物理学告知我们，世界的运动中，存在着正向粒子同时还存在着反向粒子，如 反质子等。因此，我们知道，在“大循环”中有正向运动粒子的同时也有反向 粒子运动。在反向粒子运动的一个相对运动关系中恰好有磁力： 例２．“电磁力” 这也是笔者有意安排的，将人类已经取得的自然规律，从“大循环”中取出 来展示给读者鉴赏。 取逆向运动的转换子（７）与转换子（６）的相对运动，有等式元基方程式 Ｒｍ＝ｍＥ ＦＦ·Ｒｍ＝ｍＥ Ｆ＝ｍ２·ＦＥ·Ｒ ＝ｍ２·Ｆ（Ｆ·Ｒ）·Ｒ ＝ｍ２Ｒ２ ｍ可以是电荷ｅ，物理学电学常识。则 Ｆ＝ｅ２Ｒ２—— （Ｆ７） 正是电磁定律。 由此两例证明可知，“时空质能大循环”、“否定之否定的数学形式”已不是 件偶然事件了，它是大自然的一项根本规律矛盾对立统一规律乃 世界的基本原理。 粒子是绝对运动在“大循环”之中的，并不停留在某一相对运动阶段，因此正 向运动中有８个力，逆向运动中也有８个力，它们都是根本不同性质的力。其 中包括我们人类已经知道的“万有引力”和“电磁力”。 如果说，“万有引力”与“电磁力”是存在的事实，那么其它的１４个力也必然 是存在的事实；如果说，你那１４个力是虚构的，不存在的，那么我说“万有 引力”、“电磁力”也是虚构的，不存在的。原因极为简单，只因“万有引力”与 “电磁力”仅仅是“大循环”的两个环节，正反共１６个，缺少哪一环都不构 成“大循环”的绝对运动。 事实也如此，１６种力共同存在。其余１４个力的定量表达式请参看本书“运 动论的物理学部分”。 将“否定之否定数学形式”符号转换成物理学符号引出“时空质能大循环”是 为了证明哲学原理。这是自然辩证法研究的一项重要内容和任务，否则就不必 要进行自然辩证法研究。 可以肯定，“否定之否定数学形式”还能够应用于商品经济理论的循环现象。货 币—商品—货币；生产—流通—生产的基本规律就是循环规律的上升。 按照“否定之否定数学形式”的指导，可以完善尚不明确的相对运动关系中的 转换子。明确后，可以用来指导工作。在“否定之否定数学形式”里，其转换 子的数量是一定的（８个），这本身就是规律。多余时可以归纳合并，缺少时 ，可以在货币—商品—货币运动中察觉、确定。 甚至完全可以按“否定之否定数学形式”设置银行、工厂、商业，税务等等管 理部门的机构。这种设置，必然是最为“精政”的。 例３．物理“极” 在寻求“大循环”的各种力过程中，发现第一转换子与第三转换子的相对运动等式中，各符 号代表的量都相互约掉了，变成 １（１）＝１（３） 同样，第四转换子与第六转换子的相对运动等式中各量也相互约掉，有 １（４）＝１（６） “大循环”中的这一事件，明确了第一转换子的粒子传递，不可跨越转换子（ ２）；第四转换子的粒子传递，不可跨越转换子（５）。因此知道，能量象限 上下各一个Ｅ是物理粒子集聚的“极”。 “大循环”里绝对运动中的粒子都经过“极”之后，一部分传递到大循环的下 个阶段，一部分发射到大循环之外，与其外部关联。这后一部分粒子传递到外 部，恰好证明大循环不是封闭的死环，而是“螺旋、扩大、上升”的循环。 物理“极”现象在大循环中被发现，足以证明大循环的存在绝非偶然，作为指 导理论的“ 否定之否定数学式”竟能够将这种物理学中的“细节”也包括在 内，旷古以来，绝无仅有。再次证明理论的正确。 由于物理极的存在，使“大循环”以数学模型确立，以物理学图象表现出来， 变得生机勃勃，有如一个真正的粒子跃然于纸上。 大到太阳系的九大行星，小到微观粒子，无一例外，都有自己的“极”，并且 对称成对，运转在各自的轨道上。 “时空质能大循环”还有诸多的自然性质与内容，请参阅本书的“运动论的物 理学部分”，那里偏重于物理学。就“否定之否定的数学形式”之实践验证，上 述已经足够。 需要也值得提及的是，单纯数学关系与“否定之否定数学形式”的渊源也完全 一致。参阅本书微积分的代数根源及其代数化研究（二） 有一种“超超越函数”，表为 Ｆ＝ｘｘ 函数Ｆ是自变量ｘ的ｘ次幂。 它的另一种形式就是以Ｆ为底取ｘｘ的对数 ｌｏｇＦｘ＝１ｘ 这个等式是说，双曲函数１／ｘ可以被看成变底对数ｌｏｇＦｘ。 还可以认为是，双曲函数１／ｘ上所有的点都是变底对数ｌｏｇＦｘ与之的 交点。 这个等式有极其宽广的广延性质： （１）在微分学里，已有公式 ｄｄｘ（ｌｎｘ）＝１ｘ 自然对数ｌｎｘ对于ｘ的导数等于１／ｘ。 若将ｘ看成ξ的函数ｘ＝ｆ（ξ）时，还可表为 ｄ（ｌｎｘ）＝ｄｘｘ 函数ｘ的自然对数之微分等于函数ｘ之微分被函数ｘ除。式ｄｘ／ｘ也称 作函数的相对增长率。 习惯都以ｙ表示函数，ｘ表示自变量，所以可改写成 ｄ（ｌｎｙ）＝ｄｙｙ 这个公式是对数（自然）的微分（导数）公式。除了加减法则之外的所有微分 公式，都可以它一个公式求得，换言之，只用它一个公式可以求得任意的可导 函数的导数或微分。在微分学里称作“对数求导法”。 说明，该公式具有统一微分学的根源性质。 我们看到，代数关系表示的 ｌｏｇＦｘ＝１ｘ 是与导数关系表示的 ｄｄｘ（ｌｎｘ） ＝１ｘ 相等的。 从这里，我们取得了代数化微分的途径。 （２）这种代数关系与“否定之否定的数学式”有什么必然的关联？ 重复一下“否定之否定数学形式”的三个阶段，以便于比较。 肯定阶段： ｙｘ＝１ ｙ＝ｘ 两个变量恒等，可以约掉，变成 １＝１ 数１等于数１，已经不具变量意义，但它具有“恒等”意义。 否定阶段： ｙｕ·ｕｖ·ｖｗ·ｗｘ＝１ 仍是ｙ＝ｘ 否定之否定阶段： ｙｕ ｕｖｖｗｗ ｘ ｘｗｗｖｖ ｕｕｙ＝１ 即１＝１恒等。 从数学量的角度看，经过否定之否定后，仍然回到了原来的肯定，以变量形式 表示 ｙ＝ｘ 但是“超超越函数”是 Ｆ＝ｘｘ ｌｏｇＦｘ＝１ｘ 因此有ｙ＝１ｌｏｇＦｘ 这就是“否定之否定数学式”与超超越函数的必然关联，它也是“否定之否定 数学式”与微分的关联。可见这一关联的重要性。 （３）超超越函数的特殊关联 当Ｆ＝ｅ纳别尔常数时 ｅ＝ｘｘ ｌｎｘ＝１ｘ 自然对数中的ｘ被固定在数１７６３２２２８３４…上，但形式 Ｆ＝ｘｘ 中的ｘ是不被固定的，它有无穷多个值。 Ｆ＝ｅ是微分中必然遇到的常数，是一特殊关联。 还有一个特殊关联，当 Ｆ＝５＋１２ ＝α（专用符号）时 超超越函数变成 α＝ｘｘ ＝α１ｘ 注意的是，此时ｘ已分布在等式两边，α的指数１／ｘ称为自变量，等式左边 的ｘ是函数，决然不同了，已经不是同值的ｘ，所以函数表为。 当ｘ＝１ｎ ｎ＝１，２，３…时，有 ＝αｎ——（αｎ） 又，当ｎ＝ｒ（自然数中的奇数）时 ＝αｒ——（ｘｒ） 这个数有个很重要的性质： αｒ的倒数α－ｒ恰好是αｒ的小数部分。因得 Ｌｒ＝αｒ－αｒ 称Ｌｒ为鲁卡斯数（Ｌｕｃａｓ）永远是正整数。 由此可导出“素数与合数的判别”、“素数规律研究”等诸项数论研究。 虽然发现Ｌｒ数应归于鲁卡斯，但是这种直接的数系关联，确实使人惊奇。 当笔者觉悟到这种“超超越函数”与“否定之否定数学形式”间存在一种关联 时，遇上了鲁卡斯数。此时，强烈的信念成了探求“素数与合数的判别”的动 力。