用初等方法不能积分的积分
选自《运动论》第11页
下载用初等方法不能积分的积分 “用初等方法不能积分”的积分在本文中却可以用初等方法积 分。 下面四个积分是常用积分法不能积分的积分： ∫ｄｖｌｎｖ∫ｌｎｌｎｖ·ｄｖ ∫ｅｕ·ｄｕｕ ∫ｅｕ·ｌｎｕ·ｄｕ， 这里使用ｕ、ｖ与使用ｘ完全一样，只是为了“计算”中的方便。 我发现，这四个积分两两成对出现在“复合指数函数的微分”公式中： ｄ（ｕｖ）＝ｖ·ｕｖ１ ·ｄｕ＋ｕｖ·ｌｎｕ·ｄｖ 当ｕ＝ｌｎｖ，ｖ＝ｅｕ时 分两种情形代入公式 （ｖ），ｄ（ｌｎｖ）ｖ＝ｖ（ｌｎｖ）ｖ１·ｄ（ｌｎｖ）＋（ｌｎｖ）ｖ·ｌｎｌｎｖ·ｄ ｖ ＝（ｌｎ ｖ）ｖ［ｖ·ｄｖｌｎｖ·ｖ＋ｌｎｌｎｖ·ｄｖ］ 因ｄ（ｌｎｖ）ｖ （ｌｎｖ）ｖ ＝ｄ［ｌｎ（ｌｎｖ）ｖ］ 则ｌｎ（ｌｎｖ）ｖ＝ｄｖｌｎｖ＋ ｌｎｌｎｖ·ｄｖ 该式中的两个积分都是不能单独积得的，然而它们的和是个“复合指数函数”的对数。 （ｕ），ｄ［ｕ（ｅｕ）］ ＝ｅｕ·ｕ（ｅｕ－１）ｄｕ＋ｕｅｕｌｎｕ·ｄ（ｅｕ） ＝ｕ（ｅｕ）［ｅ ｕ·ｄｕｕ＋ｅｕｌｎｕ·ｄｕ］ 因ｄ［ｕｅｕ］ ｕ（ｅｕ）＝ｄ［ｌｎ ｕ（ｅｕ）］ 则ｅｕｌｎｕ＝ ｅ ｕ·ｄｕｕ＋ｅｕ·ｌｎｕ·ｄｕ 同样，该式中的两个积分仍不能单独积得，但它们的和仍是复合指数函数的对 数。 这四个积分，两两同时出现在复合指数函数微分公式中（当ｕ＝ｌｎｖ，ｅｕ＝ｖ时）的规律启示我们，每一个积分都 是ｌｎ（ｌｎｖ）ｖ或ｅｕｌｎｕ的一部分，且与成对的另一个积分之和保持守恒（恒 等于ｌｎ（ｌｎｖ）ｖ或ｅｕｌｎｕ） 因此可取１＝ ｄｖ ｌｎｖ ｌｎ（ｌｎｖ）ｖ＋ ∫ｌｎｌｎｖ· ｄｖｌｎ（ｌｎｖ） ｖ——∫（１） 对等于恒等式 １＝ｃｏｓ２θ＋ ｓｉｎ２θ 解出ｃｏｓθ与ｓｉｎ θ则可得各积分结果。所谓“解ｃｏｓθ 、解ｓｉｎθ”，需以ｌｎ（ｌｎｖ）ｖ或ｅｕｌｎｕ表示ｃｏｓθ、 ｓｉｎθ，需要将圆函数变换成双曲函数，知 道两种函数的关系才可。 圆函数是如下方法变换成实数双曲函数的： １－ｓｉｎ２θ＝ ｃｏｓ２θ （１－ｓｉｎθ）（１＋ｓｉ ｎθ）＝ｃｏｓ２θ １＋ｓｉｎθ１－ｓｉｎθ＝ｃｏｓ ２θ（１－ｓｉｎθ）２ １＋ｓｉｎθ１－ｓｉｎθ ＝ｃｏｓθ １－ｓｉｎθ ＝１ｓｅｃθ－ ｔｇθ ＝ｓｅｃθ＋ｔｇθ ＝ｓｅｃθ＋ｓｅ ｃ２θ－１——（Ｓ·Ｓ） 令（ｓ·ｓ）式为ｖ·ｌｎｕ （ｓ·ｓ）＝ｖ·ｌｎｕ＞０ 再对（ｓ·ｓ）式双方取自然对数，就是已有公式： 左方ｌｎ１＋ ｓｉｎθ １－ｓｉｎθ＝ａ ｒｃｔｇｈ（ｓｉｎθ） 右方ｌｎ［ｓｅｃ θ＋ｓｅｃ２θ－ １］＝ａｒｃｃｏ ｓｈ（ｓｅｃθ） 有ｌｎ［ｖｌｎｕ］＝ａｒｃｔｇ ｈ（ｓｉｎθ）＝ａｒｃｃｏｓｈ（ｓｅｃθ） 得ｓｉｎθ＝ｔｇ ｈ［ｌｎ（ｖｌｎｕ）］ （ｖｌｎｕ＞０） ｓｅｃθ＝１ ｃｏｓθ＝ｃｏｓ ｈ［ｌｎ（ｖｌｎｕ）］（ｖｌｎｕ＞０） 这种三角函数与双曲函数间的实数变换很实用，不像以往那种虚实数或实虚数 变换往往要随着概念的“变换”才会应用。 其它三角函数与双曲函数变换可由ｓｉｎθ、 ｃｏｓθ之变换按公式推得，这里省略。 由于我们不能确知∫（１）式中的两个积分项哪个是ｃｏｓ ２θ，哪个是ｓ ｉｎ２θ，因此，∫（１）式中的前项是ｓ ｉｎ２θ时，后项必是ｃｏｓ ２θ；反之，前项是ｃｏｓ２θ时，后 项则是ｓｉｎ２θ。单就一项积 分而言，相当于每一项积分都有两个解，完全相似于微分方程的多 解。 （１）∫ ｄｖ ｌｎｖ＝（ｖｌｎｕ）·ｔｇｈ２［ｌｎｌｎｕｖ］ ｖｌｎｕｃｏ ｓｈ２［ｌｎｌｎｕｖ］ （ｕ＝ｌｎｖ） ∫ｌｎｌｎｖｄ ｖ＝ｖｌｎｕ ｃｏｓｈ２［ｌｎｌｎｕｖ］ （ｖｌｎｕ）·ｔｇｈ２［ ｌｎｌｎｕｖ］（ｕ＝ ｌｎｖ） 也有（２）式 １＝∫ ｅｕ·ｄｕｕｖｌｎｕ＋∫ｅｕｌｎｕ·ｄｕｖｌｎｕ——∫（２） ＝ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ ＝ｃｏｓ２＋ｓｉｎ２θ （２）∫ｅｕ· ｄｕｕ＝（ｖｌ ｎｕ）ｔｇｈ２［ｌｎｌｎｕｖ］ ｖｌｎｕ ｃｏｓｈ２ ［ｌｎｌｎｕｖ］（ｖ ＝ｅｕ） ∫ｅｕｌｎｕｄｕ＝ｖｌｎｕｃｏｓｈ２［ｌｎｌｎｕｖ］ （ｖｌｎｕ） ｔｇｈ２［ｌｎｌｎｕｖ］（ｖ＝ｅｕ） 每一个积分都有两个解（多解），这是允许的，应当说“用初等方法不能积分 ”的积分可以用初等方法积分。 最后，必须阐明要将全式 ∫（１）或∫ （２）看成是封闭式的恒等式。 １＝ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ 积分结果才不会丢失。该式的含意是ｓｉｎ２θ与ｃ ｏｓ２θ之和永远等于１。因此， ｓｉｎ２θ≤１或ｃｏｓ２θ≤１， ｓｉｎ２θ＝ｔｇｈ２［ｌｎｌｎｕｖ］（ｖ ｌｎｕ＞０） ｃｏｓ２θ＝１ｃｏｓｈ２［ｌｎｌｎｕｖ］ （ｖｌｎｕ＞０） 对于每个积分，都起到（ｖｌｎｕ）之系数 的作用，因为每个积分都是（ｖｌｎｕ）的一 部分，这“部分”的大小，都由ｓｉｎ２θ或ｃｏｓ２θ 系数决定，但总和不变，等于（ｖｌｎｕ）。 〔积分表〕中举出一例，对照比较： 在“组合超越函数的积分”中，有积分 ｅｘｌｎｘｄｘ＝ｅｘｌｎｘ－ ｅｘｘ ｄｘ 对于该积分，有的〔表〕中明确写出“用初等方法不能积分”字样，其中包括积分 ｅｘｘｄｘ 有的〔积分表〕干脆用级数形式写出答案，当然这结果已不是“初等方法”所得。 现在，我们只需将该积公式中的ｘ换成ｕ。再移项就与（２）式全同， ｅｕｌｎｕ＝∫ｅ ｕ·ｄｕｕ＋∫ｅｕｌｎｕ· ｄｕ １＝∫ｅｕ·ｄｕ ｕｖｌｎｕ＋ ∫ｅｕｌｎｕ· ｄｕｖｌｎｕ （ｕ＝ｌｎｖ） （ｅｕ＝ｖ） 由此，我们的问题得到了佐证。参考本书“微积分的代数根源及其 代数化研究”一节。