函数的导数（一阶）等于1
选自《运动论》第16页
下载函数的导数（一阶）等于１ 任意函数ｙ＝ｆ（ｘ）的一阶导数 ｙ＝ｄｙｄｘ＝１ 不是为取得其它关系设定的。这里所说ｙ＝１是一般情形中的证明，证明任 意函数的一阶导数必然等于１，是普遍规律。 证明： （１）预备定理 ｅ＝ｌｉｍΔｘ→０ （１＋Δｘ）１Δｘ ＝２７１８２８１８２８４５９０４５…（纳别尔数） ε ＝ｌｉｍΔｘ→０（１ －Δｘ）１Δｘ ＝０３６７８７９４４１… ＝１ｅ ｅ·ε＝ ｌｉｍΔｘ→０（１－Δｘ２）１Δｘ ＝１ （２）ｙ＝ｄｙｄｘ＝ｔｇθ ＝ｓｉｎθｃｏｓθ ＝－（ｃｏｓθ）ｃｏｓθ ＝ｄｄθ（－ｌｎｃｏｓθ） ＝ｌｉｍΔθ→０－［ｌｎｃｏｓ （θ＋Δθ）－ｌｎｃｏｓθ］Δθ ＝ｌｉｍΔθ→０（１Δ θ）ｌｎ［ｃｏｓθｃｏｓθ（θ ＋Δθ）］ ＝ｌｎｌｉｍΔθ→０［ ｃｏｓθｃｏｓθ·ｃｏｓΔθ－ｓｉｎθ·ｓｉｎ Δθ］１Δθ 其中 ｌｉｍΔθ→０ｃｏｓΔθ＝１ ｌｉｍΔθ→０ｓｉｎΔθ＝ Δθ（一阶无穷小） ｌｉｍΔθ→０ｔｇθ·ｓｉｎ Δθ＝Δθ（仍为一阶无穷小） 则ｙ＝ｌｎｌｉｍΔθ→０ （１１－Δθ）１Δ θ 这里１１－Δθ＝１＋Δ θ１－Δθ２ 因ｌｉｍΔθ→０（１－Δθ ２）１Δθ＝１ 则ｙ＝ｌｎｌｉｍΔθ→ ０（１＋Δθ）１Δθ ＝ｌｎｅ ＝１ 当然，如果ｙ是复合函数，则有二阶以上高阶导数，高阶导数并不等于１。 因此， 复合函数为ｙ时，有 ｙ＝ｙ（ｌｎｙ）— — （ｙ／ｙ） 一般函数为ｙ时，有 １＝ｙ（ｌｎｙ）——（１ ／ｙ） 使用（ｙ／ｙ）、（１／ｙ）两式可轻易求得原函数。 例，已知ｙ＝ｎｘｎ－１，求ｙ 令ｙ＝１ ｎｘｎ－１＝１ ｎｘｎ·１ｘ ＝１ 根据（１／ｙ）式 ｎｘｎ（ｌｎｘ）＝１ ｘｎ（ｌｎｘｎ）＝１ 仍根据（１／ｙ）式，得 ｙ＝ｘｎ 例，已知ｙ＝ｕｖ＋ｖｕ，求ｙ 令ｙ＝１ １＝ｕｖ＋ｖｕ 根据（ｙ／ｙ）式 １＝ｕ［ｖ（ｌｎｖ）］＋ｖ［ｕ（ ｌｎ ｕ）］ ＝ｕｖ［（ｌｎｖ）＋（ｌｎｕ）］ ＝ｕｖ［ｌｎｖ＋ｌｎｕ］ ＝ｕｖ（ｌｎｕｖ） 根据（１／ｙ）式 ｙ＝ｕｖ 这是使用（１／ｙ）、（ｙ／ｙ）两式求取原函数的一种新尝试。是“原函 数统一公式”的另一形式。参考本书“数学的关联”一节。 这两个式子的作用又是双向的，可求原函数，同时又可求导数。